Страница:
<< 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 126]
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10
|
Внутри выпуклого 2
n-угольника взята точка
P.
Через каждую вершину и точку
P проведена прямая.
Докажите, что найдется сторона 2
n-угольника, с которой
ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.
Решение
Возможны два случая:
1. Точка
P лежит на некоторой диагонали
AB. Тогда прямые
PA и
PB совпадают и не пересекают сторон. Остаются 2
n - 2
прямые; они пересекают не более 2
n - 2 сторон.
2. Точка
P не лежит на диагонали многоугольника
A1A2...
A2n.
Проведем диагональ
A1An + 1. По обе стороны от нее лежит по
n
сторон. Пусть для определенности точка
P лежит внутри многоугольника
A1...
An + 1 (рис.). Тогда прямые
PAn + 1,
PAn + 2,...,
PA2n,
PA1 (число этих прямых равно
n + 1) не могут пересекать
стороны
An + 1An + 2,
An + 2An + 3,...,
A2nA1.
Поэтому оставшиеся прямые могут пересекать не более чем
n - 1 из
этих
n сторон.
Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены
в три цвета. Докажите, что существует равнобедренный
прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.
Решение
Предположим, что нет равнобедренного прямоугольного
треугольника с катетами, параллельными сторонами клеток,
и вершинами одного цвета. Для удобства можно считать, что раскрашены
не узлы, а клетки. Разобьем лист на квадраты со стороной 4;
тогда на диагонали каждого такого квадрата найдутся две клетки
одного цвета. Пусть число
n больше количества различных раскрасок
квадрата со стороной 4. Рассмотрим квадрат, состоящий из
n2
квадратов со стороной 4. На его диагонали найдутся два одинаково
раскрашенных квадрата со стороной 4. Возьмем, наконец, квадрат
K,
на диагонали которого найдутся два одинаково раскрашенных
квадрата со стороной 4
n.
Рассмотрев квадрат со стороной 4
n и в нем два одинаково
раскрашенных квадрата со стороной 4, получим четыре клетки
первого цвета, две клетки второго цвета и одну клетку третьего цвета
(см. рис.). Аналогично, рассмотрев квадрат
K, получим клетку,
которая не может быть ни первого, ни второго, ни третьего цвета.
|
|
Сложность: 2+ Классы: 5,6,7
|
В квадрате 4×4 нарисовано 15 точек Доказать, что из него можно вырезать квадратик 1×1, не содержащий внутри себя точек.
Подсказка
Попробуйте разрезать исходный квадрат на квадраты 1×1.
Решение
Разрежем наш квадрат на 16 квадратиков 1×1. Среди этих маленьких квадратиков обязательно найдется хотя бы один, в который не попала точка (не могут 15 точек попасть в 16 квадратов).
|
|
Сложность: 2+ Классы: 6,7,8
|
Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно
а) по 2 монеты; | б) по 3 монеты; | в) по 4 монеты; |
г) по 5 монет; | д) по 6 монет; | е) по 7 монет? |
(Разрешается класть монеты одну на другую.) В тех случаях, когда это возможно, нарисуйте, как это сделать. В остальных случаях докажите, что так расположить монеты нельзя.
Решение
а) Так как по условию все монеты нужно положить вдоль стенок, и каждой стенки касается ровно две монеты, то общее количество монет — не больше 8.
б)—д) Примеры требуемых расположений приведены на рисунке

е) Заметим, что монета не может касаться двух противоположных стенок коробки. Поэтому общее число монет, касающихся двух противоположных стенок, равно 7 + 7 = 14 > 12.
Ответ
а), е) нет; б), в), г), д) да.
|
|
Сложность: 3- Классы: 7,8,9
|
Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Подсказка
Рассмотрите равносторонний треугольник со стороной
1.
Решение
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 1.
Некоторые две из этих трех его вершин имеют одинаковый цвет
(согласно принципу Дирихле).
Страница:
<< 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 126]