ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      



Задача 34936

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Системы точек ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

На каждой из 15 планет, расстояния между которыми попарно различны, находится по астроному, который наблюдает ближайшую к нему планету. Докажите, что некоторую планету никто не наблюдает.

Подсказка

Выберите вначале пару ближайших друг к другу планет.

Решение

Возьмём две планеты, расстояние между которыми наименьшее среди всех попарных расстояний. Ясно, что астрономы, находящиеся на этих двух планетах, смотрят друг на друга. Рассмотрим оставшиеся 13 планет. Если хотя бы один из астрономов с этих планет смотрит на одну из двух выбранных планет, то на все 13 планет не хватит наблюдателей, то есть среди этих планет найдётся та, которую никто не наблюдает. Если же ни на одну из выбранных двух планет никто не смотрит, то эти две планеты можно не рассматривать и повторить все рассуждения для 13 планет. Рассуждая так и далее, мы найдём планету, которую никто не наблюдает (поскольку 15 - нечётное число).

Прислать комментарий

Задача 35232

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

По одну сторону от прямой дороги расположены два дома.
В каком месте дороги нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от остановки до домов было минимальным?

Решение

См. задачу 55557.

Прислать комментарий

Задача 78181

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.

Решение

В треугольнике может быть только один тупой угол, поэтому тупой угол лежит против той стороны, длина которой строго больше длин всех других сторон. В частности, наибольшая сторона треугольника не может быть стороной тупого угла. Выберем в данном тетраэдре наибольшее ребро (если несколько рёбер тетраэдра имеют наибольшую длину, то выберем любое из них). Это ребро не может быть стороной плоского тупого угла.
Прислать комментарий


Задача 78183

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Тетраэдр и пирамида (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

Решение

Ответ: нет, не существует. См. решение задачи 5 для 9 класса.
Прислать комментарий


Задача 34876

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Круг поделен n диаметрами на 2n равных секторов, из которых n красных и n синих. В красные сектора, начиная с некоторого, подряд по часовой стрелке расставляются числа 1,2,...,n; в синие сектора, начиная с некоторого, также подряд расставляются числа 1,2,...,n, но против часовой стрелки. Докажите, что найдется диаметр, по каждую сторону от которого встречаются числа 1,2,...,n ровно по одному разу.

Подсказка

Выберите ближайшую пару равных чисел разного цвета.

Решение

Условимся называть красными числа, стоящие в красных секторах, и синими - стоящие в синих секторах. Расстоянем между двумя числами a и b назовем количество чисел, расположенных на меньшей дуге между числами a и b. Числа, расставленные по окружности, разбиваются на пары равных. Выберем ту пару равных чисел, расстояние между которыми наименьшее (если таких пар несколько, выберем одну из них). Пусть для определенности выбранная пара - красная единица и синяя единица, причем меньшая дуга s между ними идет от красной единицы к синей против часовой стрелки. На дуге s либо нет чисел (т.е. две единицы стоят рядом), либо все числа одного цвета, иначе красное и синее числа n были бы на расстоянии меньшем, чем расстояние между единицами. Пусть все числа на этой дуге (если они есть) - синие (случай, когда они красные, аналогичен). Проведем диаметр, отделяющий синюю единицу от числа, следующего за ним по часовой стрелке; покажем, что этот диаметр искомый. Действительно, рассмотрим полукруг, содержащий синюю единицу. Прочтем синие числа, записанные в этом полукруге, начиная с единицы против часовой стрелки - это числа 1,2,...l (l - некоторое число). Прочтем теперь красные числа. Поскольку на дуге s нет красных чисел, то это будут числа n,n-1,...,n-m (m - некоторое число). Т.к. всего в полукруге n чисел, то в нем записаны все числа от 1 до n по одному разу.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .