Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 223]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым
числом сторон.
Решение
Предположим, что любые две грани некоторого выпуклого многогранника имеют
различное число сторон. Рассмотрим ту грань Г, у которой число сторон
наибольшее; пусть оно равно
m. Следовательно, число сторон у любой из
остальных граней строго меньше
m. Значит, и количество оставшихся граней
строго меньше
m (ведь даже если бы существовали 1-угольники и 2-угольники, мы смогли бы набрать всего лишь
m − 1 разных многоугольников). С другой стороны, к грани Г примыкают ровно
m других граней многогранника (к каждой стороне — по одной). Мы получили противоречие. Стало быть, какие-то две грани обязательно имеют
равное число сторон.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На прямой дано 50 отрезков.
Докажите, что либо некоторые восемь отрезков имеют общую точку, либо найдутся восемь отрезков, никакие два из которых не имеют общей точки.
Подсказка
Выбирайте отрезок с наименьшим правым концом, далее – отрезок с наименьшим правым концом из отрезков, не пересекающихся с первым отрезком, и т.д.
Решение
Пусть [a1, b1] – отрезок с наименьшим правым концом. Если число отрезков, содержащих точку b1, больше 7, то задача решена. Если оно не больше 7, то имеется по крайней мере 50 – 7 = 43 отрезка, лежащих целиком правее точки b1. Выберем из них отрезок [a2, b2] с наименьшим правым концом. Тогда либо b2 принадлежит восьми отрезкам, либо имеется 50 – 2·7 = 36 отрезков, лежащих целиком правее точки b2. Продолжая так и далее, мы либо найдём точку, принадлежащую восьми отрезкам, либо получим семь таких попарно не пересекающихся отрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [a7, b7], что правее bk лежит еще 50 – 7k отрезков, т.е. правее b7 лежит еще один отрезок [a8, b8], т.е. имеется восемь попарно не пересекающихся отрезков [a1, b1], [a2, b2], ..., [a8, b8].
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Решение
Пусть таких членов последовательности конечное число, и k таково, что ak > k и an ≤ n для всех n > k.
Пусть N = am – максимальное среди чисел а1, ..., аk. Тогда каждое из чисел а1, ..., аN не превосходит N. Но таких чисел в последовательности не более N – 1 (нет 1). Противоречие.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Каждый из 1994 депутатов парламента дал пощечину ровно одному своему коллеге.
Докажите, что можно составить парламентскую комиссию из 665 человек, члены
которой не выясняли отношений между собой указанным выше способом.
Решение
См. задачу 98211
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди
пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.
Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?
Решение
Нетрудно проверить, что если все пришедшие, кроме двух человек A и B, были знакомы между собой, то в конце должны были остаться все, кроме A и B, то есть 98 человек.
Докажем, что не могло остаться 99 человек. Ясно, что человек A, имевший изначально меньше всех знакомых (k), в некоторый момент уйдёт. Если больше никто не ушёл, то все остальные (кроме A) имели больше k знакомых до ухода A и меньше k + 1 после
его ухода. Но тогда A должен быть знаком со всеми остальными, то есть k = 99, что противоречит строгой минимальности k.
Ответ
98 человек.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 223]
Фильтр
