Страница:
<< 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 149]
Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.
Решение
Докажем по индукции, что (3
k + 1)-угольник нельзя разрезать по
диагоналям на
k пятиугольников. Для
k = 1 это утверждение
очевидно. Предположим теперь, что оно доказано для всех
(3
k + 1)-угольников, и докажем его для (3
k + 4)-угольника.
Предположим, что (3
k + 4)-угольник разрезан по диагоналям на
k + 1 пятиугольник. Если каждый из них имеет не более трех
сторон на границе, то число сторон многоугольника не более
3
k + 3. Поэтому существует пятиугольник с четырьмя сторонами на
границе. Отрезав его, получим (3
k + 1)-угольник, разрезанный
диагоналями на
k пятиугольников. Получено противоречие.
Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых
многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не
более чем с 40 из них?
Решение
Если провести разрезы, близкие к вершинам выпуклого
n-угольника, то можно отсечь от него
n треугольников и
получить выпуклый 2
n-угольник. Легко проверить, что при этом
любая прямая пересекает не более двух отсеченных треугольников.
Отсечем от правильного треугольника 3 треугольника, затем от
полученного шестиугольника — 6 треугольников и так далее, до
тех пор, пока не получим
3
. 2
19-угольник. Любая прямая
может пересечь не более двух треугольников, отсекаемых на каждом
шаге. Поэтому всего прямая может пересечь не более
1 + 2
. 19 = 39 многоугольников. Общее число многоугольников, на которые
разбит правильный треугольник, равно
1 + 3 + 3
. 2 + ... + 3
. 2
18 = 1 + 3(2
19 - 1) > 2
20 = (2
10)
2 > 1000
2. Ясно, что
можно отсекать не все треугольники, чтобы получить ровно 1000000
многоугольников.
Квадратный лист бумаги разрезают прямой на две части. Одну из
полученных частей разрезают на две части, и так делают несколько
раз. Какое наименьшее число разрезаний нужно сделать, чтобы
среди полученных частей оказалось 100 двадцатиугольников?
Решение
Ясно, что после
n разрезаний получится
n + 1 кусок. Так как
после каждого разрезания общее число вершин полученных фигур
увеличивается на 2, 3 или 4, то после
n разрезаний общее число
вершин не превосходит 4
n + 4. Если после
n разрезаний
получилось 100 20-угольников, то кроме 20-угольников есть еще
n + 1 - 100 кусков, так как общее число кусков равно
n + 1.
Поскольку у каждого куска не менее трех вершин, общее число
вершин не меньше
100
. 20 + (
n - 99)
. 3 = 1703 + 3
n.
Следовательно,
1703 + 3
n
4
n + 4, т. е.
n
1699.
Остается доказать, что за 1699 разрезаний можно разрезать
квадрат требуемым образом. Чтобы разрезать квадрат на 100
прямоугольников, достаточно 99 разрезов, а чтобы отрезать от
каждого из этих прямоугольников по 16 треугольников и превратить
их в 20-угольники, достаточно 16000 разрезов.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
Доказать, что из шести попарно различных по величине квадратов нельзя сложить
прямоугольник.
Решение
Продолжим решение
задачи 1 для 7-8 классов, пользуясь тем, что там уже
доказано. Мы уже знаем, как должны быть расположены самый маленький квадрат и
прилегающие к нему квадраты. Поэтому если из шести попарно различных квадратов
можно сложить прямоугольник, то они должны быть расположены так:
-—
| | E |
| A |—
|— | D |
| | Q | |
| B |— |
| | C |
|— |
Но тогда у квадратов
D и
E есть общая стороны, поэтому они равны. А по условию все квадраты попарно различны.
Внутри круглого блина радиуса 10 запекли монету
радиуса 1. Каким наименьшим числом прямолинейных
разрезов можно наверняка задеть монету?
Подсказка
Построим на блине сферу как на диаметральной плоскости и переформулируйте
исходную задачу в задачу о покрытии сферы!!
Решение
Каждому прямолинейному разрезу соответствует
полоса шириной 2, отвечающая множеству возможных
центров монеты, задетой этим разрезом.
поэтому данная задача эквивалентна следующей:
найти минимальное число полос ширины 2, покрывающих
круг радиуса 10.
Ясно, что десять полос будет достаточно.
Покажем, что меньшим числом не обойтись.
Построим на блине сферу как на диаметральной плоскости.
К прямым, ограничивающим полосу, восставим перпендикулярные
плоскости - получим слой между параллельными плоскостями
шириной 2.
Получена еще одна переформулировка исходной задачи -
как покрыть сферу радиуса 10 минимальным числом слоев
ширины 2? Используем замечательное свойство сферы -
площадь сферы, заключенная между параллельными плоскостями,
пересекающими сферу, зависит только от расстояния между
этими плоскостями. (Докажите это замечательное свойство!)
Отсюда следует, что слой ширины 2 покрывает не более
1/10 площади сферы радиуса 10.
В применении к исходной задаче мы доказали, что меньше, чем
10 разрезами наверняка задеть монету не удастся.
Ответ
10.00
Страница:
<< 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 149]
Фильтр
