ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 119]      



Задача 35581

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Можно ли покрыть плоскость паркетом из прямоугольников так, чтобы все эти прямоугольники можно было разрезать одним прямолинейным разрезом?

Подсказка

Сначала разрежьте квадрат на много прямоугольников так, чтобы некоторая прямая, параллельная диагонали квадрата, пересекала каждый прямоугольник.

Решение

Один из вариантов замощения показан на картинке (прямая отсекает верхние левые углы синих квадратиков и правые нижние углы зеленых квадратиков).

Прислать комментарий

Задача 58276

Тема:   [ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Прямоугольник размером m×n замощен плитками, изображенными на рис. Докажите, что m и n делятся на 4.



Решение

См. статью D. W. Walkup «Covering a Rectangle with T-Tetrominoes» в журнале The American Mathematical Monthly, том 72, №9 (ноябрь 1965), стр. 986-988.
Прислать комментарий


Задача 64684

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8

На клетчатой доске размером 4×4 Петя закрашивает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток. Какое наименьшее количество клеток должен закрасить Петя, чтобы Вася не выиграл?

Решение

  Так как 16 не делится на 3, то всю доску (16 клеток) нельзя покрыть не пересекающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток.
  Покажем, что любые 15 покрашенных клеток можно покрыть такими уголками. Разобьём квадрат 4×4 на четыре квадрата размером 2×2, тогда единственная не покрашенная клетка попала в какой-то один из них. Любые три полностью покрашенных квадрата можно покрыть уголками из трёх клеток (см. рис.), а в четвёртом квадрате любые три покрашенные клетки всегда можно покрыть одним уголком.

Ответ

16 клеток.

Прислать комментарий

Задача 64930

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 5,6

Полина решила раскрасить свой клетчатый браслет размером 10×2 (рис. слева) волшебным узором из одинаковых фигурок (рис. справа), чередуя в них два цвета. Помогите ей это сделать.

Ответ

Способ раскраски показан на развертке браслета.

Прислать комментарий

Задача 65489

Тема:   [ Замощения костями домино и плитками ]
Сложность: 3
Классы: 5,6

Таня выложила на клетчатой бумаге узор из одинаковых фигур в виде буквы Т, показанной на рисунке слева. Игорь случайно пролил на него краску и от узора осталось только то, что показано на рисунке справа. Восстановите Танин узор, если известно, что буквы Т выкладывались без просветов и наложений.

Ответ

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 119]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .