ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 119]
Все поля шахматной доски 8×8 покрыли 32 косточками домино (каждая
косточка закрывает в точности два поля). РешениеОкрасим чётные горизонтали в белый цвет, а нечётные – в чёрный. Каждая горизонтальная доминошка содержит чётное число белых клеток (0 или 2), а каждая вертикальная – ровно одну. Поскольку общее число белых клеток чётно, то и число вертикальных доминошек чётно.
На плоскости дан квадрат 8×8, разбитый на клеточки 1×1. Его покрывают прямоугольными равнобедренными треугольниками (два треугольника закрывают одну клетку). Имеется 64 черных и 64 белых треугольника. Рассматриваются "правильные" покрытия – такие, что каждые два треугольника, имеющие общую сторону, разного цвета. Сколько существует правильных покрытий? РешениеПервый способ. В одной клеточке чёрный треугольник можно расположить четырьмя способами (двумя способами можно выбрать диагональ и двумя способами можно выбрать какой из треугольников будет чёрным). Легко проверить, что если знать расположение треугольников в клеточках на главной диагонали, положение треугольников в остальных клеточках восстанавливается единственным образом. Следовательно, число правильных покрытий равно 48 = 216. Второй способ. Левую верхнюю клетку можно покрыть четырьмя способами. Соседнюю с ней по горизонтали – уже двумя способами, следующую соседнюю – снова двумя способами, и так далее. Получаем, что верхнюю строку можно покрыть 2²·27 = 29 способами. Оставшиеся семь клеток левого столбца аналогично можно покрыть 27 способами. Всего получаем 216 способов. Если в квадрате 2×2 уже покрыто три клетки, то, как легко проверить, четвёртая покрывается однозначно. Следовательно, вся оставшаяся часть доски покрывается однозначно. Ответ216 покрытий.
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали? РешениеСм. рисунок: ОтветМожно.
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали? РешениеСм. рисунок: ОтветМожно.
ПодсказкаПодумайте, где расположена косточка 6-6.РешениеСм. рисунок.
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 119] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |