ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



Задача 57529

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

Решение

Так как площадь правильного треугольника со стороной a равна a2$ \sqrt{3}$/4, сторона правильного треугольника площадью 1 равна 2/$ \sqrt[4]{3}$, а его высота  $ \sqrt[4]{3}$. Докажем, что из полосы шириной меньше  $ \sqrt[4]{3}$ нельзя вырезать правильный треугольник площадью 1. Пусть правильный треугольник ABC лежит внутри полосы шириной меньше  $ \sqrt[4]{3}$. Пусть для определенности проекция вершины B на границу полосы лежит между проекциями вершин A и C. Тогда прямая, проведенная через точку B перпендикулярно границе полосы, пересекает отрезок AC в некоторой точке M. Высота треугольника ABC не превосходит BM, а BM не больше ширины полосы, поэтому высота треугольника ABC меньше  $ \sqrt[4]{3}$, т. е. его площадь меньше 1.
Остается доказать, что из полосы шириной  $ \sqrt[4]{3}$ можно вырезать любой треугольник площадью 1. Докажем, что у любого треугольника площадью 1 есть высота, не превосходящая  $ \sqrt[4]{3}$. Для этого достаточно доказать, что у него есть сторона не меньше 2/$ \sqrt[4]{3}$. Предположим, что все стороны треугольника ABC меньше 2/$ \sqrt[4]{3}$. Пусть $ \alpha$ — наименьший угол этого треугольника. Тогда $ \alpha$$ \le$60o и SABC = (AB . AC sin$ \alpha$)/2 < (2/$ \sqrt[4]{3}$)2($ \sqrt{3}$/4) = 1. Получено противоречие. Треугольник, у которого есть высота, не превосходящая  $ \sqrt[4]{3}$, можно поместить в полосу шириной  $ \sqrt[4]{3}$, положив сторону, на которую опущена эта высота, на сторону полосы.
Прислать комментарий


Задача 116173

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Tочка A лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые AP и AQ пересекают вторую окружность в точках B и C соответственно. Укажите положение точки A, при котором треугольник ABC имеет наибольшую площадь.

Решение

  При движении точки A по первой окружности (рис. слева) угол PAQ не меняется. Поскольку угол PAQ равен полуразности дуг BC и PQ, то угловая величина дуги BC постоянна, то есть постоянна длина хорды BC.
  Cреди всех треугольников с данными стороной и противолежащим углом наибольшую площадь имеет равнобедренный (рис. справа). Cледовательно, треугольник ABC имеет наибольшую площадь, когда A лежит на линии центров данных окружностей.

           

Ответ

A – пересечение первой окружности с линией центров.

Прислать комментарий

Задача 55238

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны.

Решение

  Пусть PQ – указанный отрезок касательной к окружности, вписанной в треугольник ABC с периметром 2p,  PQ || AC.  Обозначим  PQ = x,  AC = b.
  Треугольники BPQ и BAC подобны с коэффициентом x/b. Если p1 – полупериметр треугольника BPQ, то  p1 = x/b. С другой стороны, если K – точка касания вписанной окружности со стороной AB, то  p1 = BK = p – b.  Поэтому  x/b = p – b.  Следовательно,     причём равенство достигается при  b = p/2.

Ответ

p/4.

Прислать комментарий

Задача 116995

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Признаки подобия ]
[ Точка Торричелли ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если  BD = a.

Решение

  Из условия следует, что  ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 120°  (см. рисунок).

  Из треугольника АВD:  ∠DAB + ∠DBA = ∠B = 60°,  значит,  ∠DAB = ∠DBС.  Следовательно, треугольники DAB и DBС подобны. Поэтому
AD : BD = BD : CD,  то есть  AD·CD = BD² = a².  Значит,  SADC = AD·CD·sin 120°  – величина постоянная.
  Таким образом, площадь треугольника АВС будет наименьшей, если будет наименьшей сумма площадей треугольников ADB и BDC. Но
SADB + SBDC = ½ a(AD + CD) sin 120°,  а сумма  AD + CD  минимальна, когда треугольник ADC равнобедренный (см. задачу 32883 б).
  В этом случае, очевидно, треугольник АВС равносторонний и  

Ответ

.

Прислать комментарий

Задача 73552

Темы:   [ Против большей стороны лежит больший угол ]
[ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

  Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом 60°, спросил: "Как пройти в село NN?" Ему ответили: "Иди по левой дороге до деревни N – это в 8 верстах отсюда, – там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога – это как раз дорога в NN. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, – значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого NN". – "Ну, а какой путь короче-то будет?" – "Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы". И пошёл крестьянин по правой дороге.
  Сколько вёрст ему придётся идти до NN? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до NN напрямик? (Все дороги прямые.)

Решение

  Пусть A – развилка дорог, B – деревня N, C – село NN, D – точка, где правая дорога выходит на железнодорожное полотно.
  Пусть прямая BC пересекает AD в точке E, тогда  ∠CED = 30°.  AD = DC,  поэтому  ∠CDE = 2 ∠CAD < 2 ∠BAD = 120°,
DCE = 180° – ∠CDE – ∠CED > 30° = ∠CED.  Следовательно,  DC < DE,  и  2AD = AD + DC < AD + DE = AE = 2AB.
  Так как  AB + BC = AD + DC,  то согласно задаче 32883  SABC < SADC.  Как показано выше,  AD < AB,  значит,  ∠BAC < ∠DAC,  то есть
BAC < 30°.  Следовательно,  
  Докажем, что длина всего пути больше 10. Для этого достаточно проверить, что  AD > 5.

  Первый способ. Пусть  ∠BAC = α,  ∠CAD = β.  Тогда  cos α cos β = ½ (cos (α – β) + cos 60°) ≥ ¾.  Из треугольника ADC получаем:   

  Второй способ. Пусть  AD = x,  тогда  BC = 2x – 8.  По теореме косинусов (из треугольника  ABD)  BD² = x² + 64 – 8x.  С другой стороны, неравенство треугольника дает  BD < BC + CD = 3x – 8,  откуда  x² + 64 – 8x < (3x – 8)²,  8x² > 40x,  то есть  x > 5.

Ответ

По дорогам – больше 10 вёрст, напрямик – меньше.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .