ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      



Задача 73564

Темы:   [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Композиции поворотов ]
[ Обратные тригонометрические функции ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

Решение

Примем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. Из рис.3 видно, что за то время, пока монета радиуса k прокатится по дуге α неподвижной окружности радиуса 1 , она повернется на угол α (1+1/k) : на этом рисунке радиусы MA и M'A'' параллельны, A'' M' B= AOB= α и, поскольку дуги A'B и AB равны по длине, BMA'=α/k , следовательно, весь угол A'' M' A' , на который повернулась монета M , равен α+α/k (в частности, при k=1 этот угол равен 2α ). Теперь найдем сумму дуг, состоящих из таких точек неподвижных монет, которых монета M касалась при качении по цепочке. Пусть O1, O2, ... On – центры монет цепочки. Сумма дуг, лежащих внутри многоугольника O1 O2 ...On равна сумме его внутренних углов, т.е. π(n-2) . Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна 2π n-π (n-2)= π (n+2) . Из нее нужно вычесть еще сумму дуг, лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые M не попадает. В каждом из n углублений сумма двух таких дуг равна 2π/3 при k=1 (рис. 4 а ) и 2 arccos 1/(k+1) в общем случае (рис. 4 б ). Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета M , равна π(n+2)-2π n/3 (в общем случае π(n+2)-2n arccos 1/(k+1) ). Чтобы узнать исковое число оборотов, нужно умножить эту величину на 2 (в общем случае, на 1+1/k ) и разделить на 2π . Ответ. ( n/3+2) оборота при k=1 ; (k+1)/2k (n- 2/π n arccos 1/(k+1)+2) оборота в общем случае ( n 3 ). В этом решении мы использовали (подсчитывая "потери" в углублениях между монетами) то, что монета M прокатывается по всем n монетам подряд, без исключения. Это условие необходимо для того, чтобы задача имела определенный ответ. Для цепочек с "узкими просветами" (см.рис.), разумеется, нельзя только по числу n узнать, на сколько повернется монета M . Достаточным, но не необходимым условием, чтобы задача была разрешимой, является следующее: многоугольник O1 O2 ...On выпуклый. Подумайте, как подучить ответ, если вместо замкнутой цепочки имеется просто одна монета, две касающиеся друг друга монеты и вообще незамкнутая цепочка из n монет O1, O2, ... On , в которой Ok касается Ok+1 , расположенных так, что M может прокатиться туда и обратно по всем монетам в таком порядке: O1, O2, ... On-1, On , On-1, ... O1 (см. рис.) (Указание: Достаточно в написанных выше формулах заменить n на 2n-2 .)

Ответ

Ответ ( [n/3]+2) оборота при k=1; [(k+1)/2k] (n- [2/(π)] n  arccos [1/(k+1)]+2) оборота в общем случае (n >= 3).
Прислать комментарий


Задача 86507

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8

Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол.
Найдутся ли среди таких прямых две взаимно перпендикулярные?

Решение

Предположим, что такие прямые найдутся. Тогда в эти моменты времени часовые стрелки перпендикулярны. Значит, между ними прошло целое количество часов (а именно  6n + 3,  где n – целое число). Тогда положение минутных стрелок в эти моменты времени одинаково, и угла в 90° они образовать не могут, что противоречит нашему предположению.

Ответ

Не найдутся.

Прислать комментарий

Задача 52628

Темы:   [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Около данного круга опишите треугольник с двумя данными углами.

Подсказка

Угол между радиусами, проведенными в точки касания, дополняет угол между касательными в этих точках до 180o.

Решение

От произвольной точки данной окружности отложим дуги, дополняющие данные углы до 180o, так, чтобы выбранная точка была единственной общей точкой двух дуг. Через выбранную точку и две полученные проведем касательные к окружности. Получим искомый треугольник.

Прислать комментарий


Задача 52566

Темы:   [ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Хорда AB делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130o, а большая делится хордой AC в отношении 31:15, считая от точки A. Найдите угол BAC.

Подсказка

Вписанный угол измеряется половиной угловой величины соответствующей дуги.

Решение

Угловая величина большей дуги равна 360o - 130o = 230o. Угол BAC опирается на дугу BC, угловая величина которой равна $ {\frac{15}{46}}$ . 230o = 75o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ BC = 37o30'.

Ответ

37o30'.

Прислать комментарий


Задача 52581

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.

Подсказка

Угол между касательной и хордой, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.

Решение

Угловая величина дуги, заключённой между касательной и хордой, равна $ {\frac{3}{8}}$ . 360o = 135o. Следовательно, искомый угол равен $ {\frac{135^{\circ}}{2}}$ = 67o30'.

Ответ

67o30'.

Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .