ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Центральный угол. Длина дуги и длина окружности
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]
Как изменится ответ, если радиус этой монеты в РешениеПримем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. Из рис.3 видно, что за то время, пока монета радиуса k прокатится по дуге α неподвижной окружности радиуса 1 , она повернется на угол α (1+1/k) : на этом рисунке радиусы MA и M'A'' параллельны, A'' M' B= AOB= α и, поскольку дуги A'B и AB равны по длине, BMA'=α/k , следовательно, весь угол A'' M' A' , на который повернулась монета M , равен α+α/k (в частности, при k=1 этот угол равен 2α ). Теперь найдем сумму дуг, состоящих из таких точек неподвижных монет, которых монета M касалась при качении по цепочке. Пусть O1, O2, ... On – центры монет цепочки. Сумма дуг, лежащих внутри многоугольника O1 O2 ...On равна сумме его внутренних углов, т.е. π(n-2) . Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна 2π n-π (n-2)= π (n+2) . Из нее нужно вычесть еще сумму дуг, лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые M не попадает. В каждом из n углублений сумма двух таких дуг равна 2π/3 при k=1 (рис. 4 а ) и 2 arccos 1/(k+1) в общем случае (рис. 4 б ). Итак, сумма дуг, по которым прокатится монета M , равна π(n+2)-2π n/3 (в общем случае π(n+2)-2n arccos 1/(k+1) ). Чтобы узнать исковое число оборотов, нужно умножить эту величину на 2 (в общем случае, на 1+1/k ) и разделить на 2π . Ответ. ( n/3+2) оборота при k=1 ; (k+1)/2k (n- 2/π n arccos 1/(k+1)+2) оборота в общем случае ( n 3 ). В этом решении мы использовали (подсчитывая "потери" в углублениях между монетами) то, что монета M прокатывается по всем n монетам подряд, без исключения. Это условие необходимо для того, чтобы задача имела определенный ответ. Для цепочек с "узкими просветами" (см.рис.), разумеется, нельзя только по числу n узнать, на сколько повернется монета M . Достаточным, но не необходимым условием, чтобы задача была разрешимой, является следующее: многоугольник O1 O2 ...On выпуклый. Подумайте, как подучить ответ, если вместо замкнутой цепочки имеется просто одна монета, две касающиеся друг друга монеты и вообще незамкнутая цепочка из n монет O1, O2, ... On , в которой Ok касается Ok+1 , расположенных так, что M может прокатиться туда и обратно по всем монетам в таком порядке: O1, O2, ... On-1, On , On-1, ... O1 (см. рис.) (Указание: Достаточно в написанных выше формулах заменить n на 2n-2 .)Ответ
Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол. РешениеПредположим, что такие прямые найдутся. Тогда в эти моменты времени часовые стрелки перпендикулярны. Значит, между ними прошло целое количество часов (а именно 6n + 3, где n – целое число). Тогда положение минутных стрелок в эти моменты времени одинаково, и угла в 90° они образовать не могут, что противоречит нашему предположению. ОтветНе найдутся.
ПодсказкаУгол между радиусами, проведенными в точки касания, дополняет угол между касательными в этих точках до 180o.
РешениеОт произвольной точки данной окружности отложим дуги, дополняющие данные углы до 180o, так, чтобы выбранная точка была единственной общей точкой двух дуг. Через выбранную точку и две полученные проведем касательные к окружности. Получим искомый треугольник.
Хорда AB делит окружность на две дуги, из которых меньшая равна 130o, а большая делится хордой AC в отношении 31:15, считая от точки A. Найдите угол BAC.
ПодсказкаВписанный угол измеряется половиной угловой величины соответствующей дуги.
РешениеУгловая величина большей дуги равна 360o - 130o = 230o. Угол BAC опирается на дугу BC, угловая величина которой равна . 230o = 75o. Следовательно,
BAC = BC = 37o30'.
Ответ37o30'.
Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3:5, проведена касательная. Найдите острый угол между хордой и касательной.
ПодсказкаУгол между касательной и хордой, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними.
РешениеУгловая величина дуги, заключённой между касательной и хордой, равна . 360o = 135o. Следовательно, искомый угол равен = 67o30'.
Ответ67o30'.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|