ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 74]      



Задача 52936

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прямая, проходящая через точки A и B окружности, рассекает её на две дуги. Длины этих дуг относятся как 1:11. В каком отношении хорда AB делит площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Подсказка

Площадь меньшего из сегментов равна разности площадей сектора с углом 30o и равнобедренного треугольника.

Решение

Точки A и B разбивают окружность на две дуги, меньшая из которых содержит $ {\frac{360^{\circ}}{12}}$ = 30o. Площадь соответствующего сегмента равна разности площадей сектора и треугольника, т.е.

$\displaystyle {\frac{\pi R^{2}}{12}}$ - $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$,

где R — радиус круга. Тогда площадь оставшегося сегмента равна

$\displaystyle \pi$R2 - $\displaystyle {\frac{R^{2}(\pi - 3)}{12}}$ = $\displaystyle {\frac{R^{2}( 11\pi + 3)}{12}}$.

Следовательно, искомое отношение равно $ {\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$.

Ответ

$ {\frac{\pi - 3}{11\pi + 3}}$.

Прислать комментарий


Задача 54505

 [Луночки Гиппократа]
Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных "луночек" равна площади треугольника.

Подсказка

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника, равна $ {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - $ {\frac{ab}{2}}$.

Решение

Пусть a и b — катеты треугольника, c — гипотенуза. Тогда сумма площадей указанных "луночек" равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ - s1 + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - s2,

где s1 и s2 — площади сегментов, отсекаемых катетами от описанного круга данного треугольника. Ясно, что

s1 + s2 = $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$.

Следовательно, искомая сумма равна

$\displaystyle {\frac{\pi a^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{\pi b^{2}}{8}}$ - (s1 + s3) = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2})}{8}}$ - $\displaystyle {\frac{\pi c^{2}}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi (a^{2} + b^{2} - c^{2})}{8}}$ + $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ab}{2}}$.

Прислать комментарий


Задача 102263

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Полуокружность радиуса r разделена точками на 3 равные части, и точки деления соединены хордами с одним и тем же концом диаметра, стягивающего эту полуокружность. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя хордами и заключённой между ними дугой.

Подсказка

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Тогда искомая площадь равна площади сектора AOB,

Решение

Пусть CD — диаметр, O — середина CD, а DA, AB и BC — хорды. Треугольники AOD, AOB и BOC — равносторонние, $ \angle$AOD = $ \angle$AOB = $ \angle$BOC = 60o, поэтому AB$ \Vert$DC. Значит, S$\scriptstyle \Delta$ADB = S$\scriptstyle \Delta$AOB. В задаче требуется найти пощадь фигуры, составленной из треугольника ADB и сегмента AB, ограниченного дугой AB, не содержащей точку D. Заметим, что сектор AOB состоит из треугольника AOB и этого же сегмента, следовательно, искомая площадь равна площади сектора AOB, т.е. шестой части площади соответствующего круга. Таким образом, искомая площадь равна $ {\frac{\pi r^{2}}{6}}$.

Ответ

$ {\frac{\pi r^{2}}{6}}$.
Прислать комментарий


Задача 102319

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью $ {\frac{25}{8}}$ можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.

Подсказка

Если r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c, то r = $ {\frac{a+b-c}{2}}$. Воспользуйтесь также неравенством $ \pi$ < 3, 15

Решение

Поскольку 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52, то треугольник — прямоугольный. Пусть r — радиус окружности, вписанной в данный треугольник, R — радиус данного круга, S — его площадь. Тогда r = $ {\frac{3+4-5}{2}}$ = 1, а т.к S = $ \pi$R2, то R = $ \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ = $ {\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$. Поскольку $ \pi$ > 3, 14 и $ \sqrt{2}$ > 1, 4, то

2$\displaystyle \pi$$\displaystyle \sqrt{2}$ > 2 . 3, 14 . 1, 4 = 6, 392 > 5,

поэтому

R = $\displaystyle {\frac{5}{2\pi \sqrt{2}}}$ < 1 = r

Следовательно, данный круг можно поместить в треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Ответ

Утверждение верно.
Прислать комментарий


Задача 52979

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Даны две непересекающиеся окружности. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Радиус меньшей окружности равен R. Расстояние от точки A до центра окружности большего радиуса равно 6R. Точка A делит отрезок касательной, заключённый между точками касания, в отношении 1:3. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

Подсказка

Указанные касательные пересекаются под углом 60o.

Решение

Пусть BE и CD — общие касательные, B и C — точки касания с большей окружностью (с центром O), D и E — с меньшей (с центром Q).

Из подобия треугольников AEQ и ABO следует, что

AQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$AO = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ . 6R = 2R.

Поэтому

$\displaystyle \angle$AQE = $\displaystyle \angle$AQD = $\displaystyle \angle$AOC = $\displaystyle \angle$AOB = 60o,

S$\scriptstyle \Delta$AQE = S$\scriptstyle \Delta$AQD = $\displaystyle {\frac{R^{2}\sqrt{3}}{2}}$S - $\displaystyle \Delta$AOB = S$\scriptstyle \Delta$AOC = $\displaystyle {\frac{9R^{2}\sqrt{3}}{2}}$.

Радиусы QD и QE разбивают меньший круг на два сектора. Площадь интересующего нас сектора составляет $ {\frac{2}{3}}$ площади круга, т.е. $ {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$. Площадь соответствующей части большего круга равна 9 . $ {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$.

Сложив эти площади с найденными площадями треугольников, получим, что искомая площадь равна

S = 10 . $\displaystyle {\frac{2\pi R^{2}}{3}}$ + 10R2$\displaystyle \sqrt{3}$ = 10R2$\displaystyle \left(\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \sqrt{3}$ + $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right)$.

Ответ

10R2$ \left(\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right.$$ \sqrt{3}$ + $ {\frac{2\pi}{3}}$$ \left.\vphantom{\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}}\right)$.

Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 74]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .