Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 159]

Задача 107782

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Решение

Заметим, что порядок, в котором разрезали треугольники, не важен: конечный результат от этого не зависит.
Предположим, что после некоторого числа разрезаний получились попарно различные треугольники. Поскольку первоначально имеется четыре одинаковых треугольника, три из них были разрезаны. Сделаем сначала эти три разреза. В результате образовались две тройки одинаковых треугольников. В каждой из этих троек были разрезаны хотя бы по два треугольника. Сделаем эти разрезы. После этого у нас опять образуются четыре одинаковых треугольника (см. рис.). Три из них придётся разрезать... Итак, мы видим, что процесс никогда не кончится. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 116177

Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Гомотетичные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дана окружность и точка P внутри неё. Два произвольных перпендикулярных луча с началом в точке P пересекают окружность в точках A и B. Tочка X является проекцией точки P на прямую AB, Y – точка пересечения касательных к окружности, проведённых через точки A и B. Докажите, что все прямые XY проходят через одну и ту же точку.

Решение

Пусть Q – точка пересечения прямых XY и OP (см. рис.). Докажем, что точка Q не зависит от положения точки A.

Первый способ. Достаточно доказать, что OP : QO = const. Bыразим это отношение через радиус окружности и произведение отрезков хорд, проходящих через точку P (и то и другое для данной конструкции постоянно).
Прямые QX и OY параллельны как перпендикуляры к AB. Поэтому QP : QO = PX : OY. Из треугольника APB видно, что

Tаким образом,

Bторой способ. Пусть перпендикулярные хорды пересекают окружность в точках A, B, C и D (см. рис.). Касательные к окружности, проведённые в этих точках, образуют четырёхугольник YY₁Y₂Y₃. X, X₁, X₂ и X₃ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны четырёхугольника ABCD. Tогда четырёхугольник XX₁X₂X₃ описан около окружности с центром в точке P и, согласно задаче 116171, радиус r этой окружности не зависит от выбора прямых AC и BD.

Поскольку AO ⊥ YY₁, PX ⊥ AD и ∠OAD = ∠X₁XP, то XX₁ || YY₁. Cледовательно, стороны четырёхугольников XX₁X₂X₃ и YY₁Y₂Y₃ соответственно параллельны. Из подобия прямоугольных треугольников AOY и TPX получим, что YA = ^r/_R XT. Aналогично Y₁A = ^r/_R X₁T, следовательно,
YY₁ = ^r/_R XX₁. Aналогично, Y₁Y₂ = ^r/_R X₁X₂, Y₂Y₃ = ^r/_R X₂X₃ и YY₃ = ^r/_R XX₃, то есть четырёхугольники XX₁X₂X₃ и YY₁Y₂Y₃ гомотетичны. При этом центр гомотетии лежит на прямой OP, соединяющей центры окружностей, вписанных в эти четырёхугольники и коэффициент гомотетии равен ^r/_R, следовательно, центр Q гомотетии является фиксированной точкой, независимо от выбора прямых AC и BD.

Прислать комментарий

Задача 52893

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

AB — диаметр окружности; BC — касательная; D — точка пересечения прямой AC с окружностью. Известно, что AD = 32 и DC = 18. Найдите радиус окружности.

Подсказка

$\angle$ ADB = 90^o.

Решение

Поскольку BD — высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная из вершины прямого угла, то

AB² = AC^.AD = 50^.32.

Следовательно, AB = 40, а искомый радиус равен 20.

Ответ

20.

Прислать комментарий

Задача 52944

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке K . Найдите площадь треугольника CKB , если катет BC равен a и катета AC равен b .

Решение

По теореме Пифагора

AB==.
Точка K лежит на окружности с диаметром BC , поэтому BKC = 90^o . Треугольник CBK подобен треугольнику ABC по двум углам, причём коэффициент подобия равен = , значит, площадь треугольника CBK равна площади треугольника ABC , умноженной на квадрат коэффициента подобия, т.е.
S_{Δ CBK}= ()2· ab= .

Ответ

.

Прислать комментарий

Задача 53108

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность. Расстояния от концов гипотенузы AB до прямой, касающейся окружности в точке C , равны m и n соответственно. Найдите катеты AC и BC .

Решение

Пусть P и Q — проекции точек A и B на указанную касательную, CM — высота треугольника ABC . Треугольник AMC равен треугольнику APC , т.к.

PCA = ABC = 90^o - CAB = ACM
(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, AM = AP = m . Аналогично BM = n . Поэтому
AC2 = AM· AB=m(m+n), BC2 = BM· AB=n(m+n),

Ответ

, .

Прислать комментарий

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 159]