ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      



Задача 56772

Темы:   [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Каждая из сторон выпуклого четырехугольника разделена на пять равных частей и соответствующие точки противоположных сторон соединены (см. рис.). Докажите, что площадь среднего (заштрихованного) четырехугольника в 25 раз меньше площади исходного.


Решение

Согласно задаче 56771 площадь среднего из четырехугольников, заданных отрезками, соединяющими точки сторон AB и CD, в пять раз меньше площади исходного четырехугольника. А так как каждый из рассматриваемых отрезков делится отрезками, соединяющими соответствующие точки другой пары противоположных сторон, на пять равных частей (см. задачу 56471), то, воспользовавшись еще раз результатом задачи 56771, получим требуемое.
Прислать комментарий


Задача 86114

Темы:   [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

На сторонах треугольника ABC вовне построены квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2. На отрезках A1A2 и B1B2 также во внешнюю сторону от треугольников AA1A2 и BB1B2 построены квадраты A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Докажите, что  A3B4 || AB.

Решение

  Поскольку  AB = BB1BC = BB2  и  ∠B1BB2 = π − ∠ABC,  то  SABC = SBB1B2.  Аналогично,  SB1A2A3 = SAA1A2 = SABC = SBB1B2 = SB1A2B4.  Следовательно,
A3B4 || A2B1 || AB.

Прислать комментарий

Задача 35162

Темы:   [ Трапеции (прочее) ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Подсказка

Из условия следует, что равны площади треугольников ABD и ACD.

Решение

Заметим, что  SABD = SAOB + SAOD = SCOD + SAOD = SACD.  У треугольников ABD и ACD общее основание AD, следовательно, у них равные высоты, опущенные на сторону AD. Это означает, что точки B и C равноудалены от прямой AB. Поскольку B и C находятся по одну сторону от прямой AB, то  BC || AD.

Прислать комментарий

Задача 116347

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K – на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.

Решение

У треугольников AMB и ABC общая высота, проведённая из вершины A, поэтому их площади относятся как основания, значит,

Аналогично,

Следовательно,

Ответ

Прислать комментарий


Задача 116348

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM.

Решение

У треугольников ABN и ABC общая высота, проведённая из вершины C, поэтому их площади относятся как основания, значит, $$S_{ABN} = \frac{AN}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac45 \cdot 1 = \frac45.$$

Аналогично, $$S_{ANL} = \frac{AL}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac23 \cdot \frac45 = \frac{8}{15},$$ $$S_{ANK} = \frac{AK}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac13 \cdot \frac45 = \frac4{15},$$ $$S_{AKM} = \frac{AM}{AN} \cdot S_{ANK} = \frac14 \cdot \frac4{15} = \frac1{15}.$$

Следовательно, $$S_{KLNM} = S_{ALN} - S_{AKM} = \frac8{15} - \frac1{15} = \frac7{15}.$$

Ответ

$\frac7{15}$.
Прислать комментарий


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .