Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]

Задача 61000

[Схема Горнера]

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
Темы:	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Значение многочлена P_n(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀ (a_n ≠ 0) в точке x = c можно вычислить, используя ровно n умножений. Для этого нужно представить многочлен P_n(x) в виде P_n(x) = (...(a_nx + a_n–1)x + ... + a₁)x + a₀. Пусть b_n, b_n–1, ..., b₀ – это значения выражений, которые получаются в процессе вычисления P_n(c), то есть b_n = a_n, b_k = cb_k+1 + a_k (k = n – 1, ..., 0). Докажите, что при делении многочлена P_n(x) на x – c с остатком, у многочлена в частном коэффициенты будут совпадать с числами b_n–1, ..., b₁, а остатком будет число b₀. Таким образом, будет справедливо равенство:
P_n(x) = (x – c)(b_nx^n–1 + ... + b₂x + b₁) + b₀.

Решение

Последнее равенство после раскрытия скобок и приведения подобных сводится к системе соотношений a_n = b_n, a_k = b_k – cb_k+1, которая эквивалентна приведенной в условии.

Прислать комментарий

Задача 61261

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите, что (a² + b² + c² – ab – bc – ac)(x² + y² + z² – xy – yz – xz) = X² + Y² + Z² – XY – YZ – XZ,

если X = ax + cy + bz, Y = cx + by + az, Z = bx + ay + cz.

Подсказка

Раскройте скобки.

Прислать комментарий

Задача 64534

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Про различные числа a и b известно, что . Найдите .

Решение

Данное равенство можно записать в виде , откуда или . Так как числа a и b различны, то разделим обе части равенства на a – b, после чего получим: . Это и есть искомое значение, так как .

Ответ

–1.

Прислать комментарий

Задача 65510

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Известно, что a² + b = b² + c = c² + a. Какие значения может принимать выражение a(a² – b²) + b(b² – c²) + c(c² – a²)?

Решение

Из условия следует, что a² – b² = c – b, b² – c² = a – c и c² – a² = b – a. Следовательно, a(a² – b²) + b(b² – c²) + c(c² – a²) = a(c – b) + b(a – c) + c(b – a) = 0.

Ответ

Прислать комментарий

Задача 86502

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Укажите все пары (x; y), для которых выполняется равенство (x⁴ + 1)(y⁴ + 1) = 4x²y².

Решение

x⁴y⁴ + x⁴ + y⁴ + 1 – 4x²y² = 0 ⇔ (x⁴y⁴ – 2x²y² + 1) + (x⁴ – 2x²y² + y⁴) = 0 ⇔ (x²y² – 1)² + (x² – y²)² = 0. Значит, x²y² = 1, x² = y², то есть |x| = |y| = 1.

Ответ

(1, 1), (–1. –1), (1, –1), (–1, 1).

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 104]