Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]
Пол комнаты площадью 6 м² покрыт тремя коврами, площадь каждого из которых равна 3 м².
Докажите, что какие-то два из этих ковров перекрываются по площади,
не меньшей 1 м².
Подсказка
Предположите противное и оцените площадь, покрытую всеми тремя коврами.
Решение
Пусть это не так. Тогда первый и второй ковры пересекаются по площади, меньшей 1 м². Поэтому объединение этих двух ковров покрывает площадь, большую 3 + 3 – 1 = 5 м². Третий ковер имеет общую площадь, меньшую 1 м², с первым ковром и общую площадь, меньшую 1 м², со вторым ковром. Следовательно, площадь, большая 1 м², покрыта только третьим ковром.
Таким образом, площадь, покрытая всеми тремя коврами, больше 5 + 1 = 6 м², т.е. больше площади комнаты. Противоречие.
Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни
на 5, но делятся на 11?
Решение
На 11 делятся 3000 чисел (см. задачу 60438 а). Из них еще и на 3 делятся 3000 : 3 = 1000 чисел, а на 5 – 3000 : 5 = 600 чисел. На 3, на 5 и на 11 делятся 600 : 3 = 200 чисел. Итак, 3000 – 1000 – 600 + 200 = 1600 чисел удовлетворяют условию задачи.
Ответ
1600 чисел.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
|
Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся
ни на 5, ни на 7?
Решение
Сначала вычеркнем из набора чисел 1, 2, ..., 999 числа, кратные 5; их количество равно [999/5] = 199. Затем из того же набора чисел 1, 2, ..., 999 вычеркнем числа, кратные 7; их количество равно [999/7] = 142. При этом числа, кратные 35, будут вычеркнуты дважды. Их количество равно [999/35] = 28. Значит, всего мы вычеркнули 199 + 142 – 28 = 313 чисел, а осталось 999 – 313 = 686 чисел.
Ответ
686 чисел.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Каждая сторона в треугольнике
ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует
различных треугольников с вершинами в точках деления (точки
A,
B,
C не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна
сторона не параллельна ни одной из сторон
треугольника
ABC?
Решение
Пусть
Na — количество треугольников, у которых одна из сторон
параллельна стороне
BC исходного треугольника. Аналогично
определим числа
Nb,
Nc,
Na, b,
Nb, c,
Na, c и
Na, b, c. Через
N обозначим общее число треугольников. Тогда
N = 7
3,
Na =
Nb =
Nc = 7
2,
Na, b =
Nb, c =
Na, c = 7,
Na, b, c = 1. Искомое число находится по формуле включений и
исключений:
73 - 3 . 72 + 3 . 7 - 1 = 63.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Сколько существует целых чисел от 1 до 1000000, которые не являются ни полным
квадратом, ни полным кубом, ни четвёртой степенью?
Решение
1000000 = 1000² = 100³ = 106. Поэтому в указанном промежутке ровно 1000 квадратов и 100 кубов. 10 чисел из них являются шестыми степенями, то есть квадратами и кубами одновременно. Все четвёртые степени находятся среди квадратов. Следовательно, условию удовлетворяют
1000000 – 1000 – 100 + 10 = 998910 чисел.
Ответ
998910 чисел.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]
Фильтр
