ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 60]      



Задача 97975

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Куб ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Анджанс А.

Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.
Докажите, что его можно проткнуть иглой так, чтобы игла прошла через две противоположные грани и не уткнулась в кирпич.

Решение

Каждую грань 20×20 куба можно проткнуть в  19·19 = 361  точке, а поскольку у куба три пары параллельных граней, всего имеется  361·3 = 1083  "возможных протыканий". Допустим, что куб нельзя проткнуть насквозь, то есть каждое из 1083 возможных протыканий заблокировано гранью 2×2 некоторого кирпича. Докажем, что каждое протыкание заблокировано чётным числом кирпичей. Введём иглу до конца и рассмотрим параллелепипед, закрашенный на рисунке.

В нём чётное (даже кратное 20) число единичных кубиков. С другой стороны, его составляют кирпичи 2×2×1 и "обломки" кирпичей 2×1×1 и 1×1×1. Следовательно, число кирпичей, которые наша игла проткнула (равное числу обломков 1×1×1 в параллелепипеде), чётно. Значит, общее число кирпичей не меньше  2·1083 > 2000.  Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 98010

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Обход графов ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Фомин С.В.

Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь?

Решение

Пусть такой путь существует. Тогда он состоит из 54 диагоналей (на поверхности кубика 54 квадратика). Но имеется 56 узлов (вершин квадратов), значит, через один из узлов путь не проходит. К этому узлу примыкают три (если он стоит в вершине куба) или четыре квадратика. Проведённые в них диагонали образуют цикл (длины 3 или 4), что противоречит условию.

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

Задача 98074

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Четность и нечетность ]
[ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Фомин С.В.

В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"?

Решение

Допустим, что нам удалось сложить параллелепипед из "кирпичей". Раскрасим получившийся параллелепипед в два цвета в шахматном порядке. Ровно половина кубиков окажется окрашена в белый цвет.  11·12·13 : 2  – чётное число. С другой стороны, в каждом "кирпиче", из которых составлен параллелепипед, либо один, либо три белых кубика. Самих "кирпичей" тоже нечётное число  (11·12 : 4),  поэтому всего белых кубиков – нечётное число, что противоречит полученному ранее результату.

Прислать комментарий

Задача 98094

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Необычные конструкции ]
[ Куб ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

  а) Можно ли расположить пять деревянных кубов в пространстве так, чтобы каждый имел общую часть грани с каждым? (Общая часть должна быть многоугольником.)
  б) Тот же вопрос про шесть кубов.

Решение

Проведём плоскость и поставим три куба на эту плоскость так, чтобы все три соприкасались. Они соприкасаются с плоскостью по трём квадратам (красные квадраты на рисунке). Остается прижать три других куба к плоскости с другой стороны так, чтобы каждый "нижний" (синий) квадрат пересекался с каждым "верхним" (см. рисунок).

Ответ

Можно.

Прислать комментарий

Задача 98153

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Куб ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Дан куб с ребром длины n см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб?

Решение

  2n кусков достаточно: обклеиваем четыре грани куба, образующие боковую поверхность прямоугольной призмы, n рядами ленты, каждый ряд ширины 1, а затем аналогично обклеиваем другую четвёрку граней (из них две грани уже один раз обклеены, а две другие заклеиваем в первый раз).
  Докажем, что меньшим числом кусков обойтись нельзя. Рассмотрим две грани, имеющие общее ребро, и разобьём их на n полосок  1×2n,  перпендикулярных общему ребру этих граней. Если имеются куски ленты, идущие вдоль этих полосок и закрывающие всю их ширину (может быть, и не всю длину), то таких кусков не менее n. Тогда остаются ещё две грани, полностью свободные от этих кусков. Чтобы заклеить одну из них, необходимо затратить ещё по крайней мере n кусков, так как каждый кусок заклеивает не более 1/n площади этой грани. Если же есть полоска, по всей длине свободная от кусков, идущих вдоль неё, то для того, чтобы закрыть эту полоску кусками, идущими поперёк этой полоски, нужно по крайней мере 2n кусков ленты.

Ответ

На 2n кусков.

Прислать комментарий

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 60]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .