ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 61]
Куб 20×20×20 составлен из 2000 кирпичей размером 2×2×1.
РешениеКаждую грань 20×20 куба можно проткнуть в 19·19 = 361 точке, а поскольку у куба три пары параллельных граней, всего имеется 361·3 = 1083 "возможных протыканий". Допустим, что куб нельзя проткнуть насквозь, то есть каждое из 1083 возможных протыканий заблокировано гранью 2×2 некоторого кирпича. Докажем, что каждое протыкание заблокировано чётным числом кирпичей. Введём иглу до конца и рассмотрим параллелепипед, закрашенный на рисунке. В нём чётное (даже кратное 20) число единичных кубиков. С другой стороны, его составляют кирпичи 2×2×1 и "обломки" кирпичей 2×1×1 и 1×1×1. Следовательно, число кирпичей, которые наша игла проткнула (равное числу обломков 1×1×1 в параллелепипеде), чётно. Значит, общее число кирпичей не меньше 2·1083 > 2000. Противоречие.
Можно ли провести в каждом квадратике на поверхности кубика Рубика диагональ так, чтобы получился несамопересекающийся путь? РешениеПусть такой путь существует. Тогда он состоит из 54 диагоналей (на поверхности кубика 54 квадратика). Но имеется 56 узлов (вершин квадратов), значит, через один из узлов путь не проходит. К этому узлу примыкают три (если он стоит в вершине куба) или четыре квадратика. Проведённые в них диагонали образуют цикл (длины 3 или 4), что противоречит условию. ОтветНельзя.
В нашем распоряжении имеются "кирпичи", имеющие форму, которая получается следующим образом: приклеиваем к одному единичному кубу по трём его граням, имеющим общую вершину, ещё три единичных куба, так что склеиваемые грани полностью совпадают. Можно ли сложить прямоугольный параллелепипед 11×12×13 из таких "кирпичей"? РешениеДопустим, что нам удалось сложить параллелепипед из "кирпичей". Раскрасим получившийся параллелепипед в два цвета в шахматном порядке. Ровно половина кубиков окажется окрашена в белый цвет. 11·12·13 : 2 – чётное число. С другой стороны, в каждом "кирпиче", из которых составлен параллелепипед, либо один, либо три белых кубика. Самих "кирпичей" тоже нечётное число (11·12 : 4), поэтому всего белых кубиков – нечётное число, что противоречит полученному ранее результату.
а) Можно ли расположить пять деревянных кубов в пространстве так, чтобы
каждый имел общую часть грани с каждым? (Общая часть должна быть многоугольником.)
РешениеПроведём плоскость и поставим три куба на эту плоскость так, чтобы все три соприкасались. Они соприкасаются с плоскостью по трём квадратам (красные квадраты на рисунке). Остается прижать три других куба к плоскости с другой стороны так, чтобы каждый "нижний" (синий) квадрат пересекался с каждым "верхним" (см. рисунок). ОтветМожно.
Дан куб с ребром длины n см. В нашем распоряжении имеется длинный кусок изоляционной ленты шириной 1 см. Требуется обклеить куб лентой, при этом лента может свободно переходить через ребро на другую грань, по грани она должна идти по прямой параллельно ребру и не свисать с грани вбок. На сколько кусков необходимо разрезать ленту, чтобы обклеить куб? Решение 2n кусков достаточно: обклеиваем четыре грани куба, образующие боковую поверхность прямоугольной призмы, n рядами ленты, каждый ряд ширины 1, а затем аналогично обклеиваем другую четвёрку граней (из них две грани уже один раз обклеены, а две другие заклеиваем в первый раз). ОтветНа 2n кусков.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 61] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|