ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 150]      



Задача 98535

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

По прямой в одном направлении на некотором расстоянии друг от друга движутся пять одинаковых шариков, а навстречу им движутся пять других таких же шариков. Скорости всех шариков одинаковы. При столкновении любых двух шариков они разлетаются в противоположные стороны с той же скоростью, с какой двигались до столкновения. Сколько всего столкновений произойдёт между шариками?

Решение

После столкновения шарики разлетаются с той же скоростью, Поэтому ситуация не изменится, если мы разрешим шарикам при столкновении проскакивать друг сквозь друга, сохраняя скорость. Тогда каждый шарик, катящийся "справа", встретит по одному разу каждый из шариков, катящихся "слева", то есть встреч будет 25.

Ответ

25 столкновений.

Прислать комментарий

Задача 104124

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Антон сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он решил пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 150 ступенек. Сколько ступенек он насчитал, спускаясь вместе с милиционером по неподвижному эскалатору?

Решение

Антон бежал вверх в 5 раз дольше, чем вниз (потому что насчитал в 5 раз больше ступенек). При этом навстречу ему выползло в 5 раз больше ступенек, чем "убежало" при спуске. Если Антон сбежит вниз 5 раз, то он насчитает 150 ступенек, а убегут от него столько же ступенек, сколько выпозло при подъёме. Поэтому  150 + 150 = 300  – это ушестеренное число ступенек эскалатора.

Ответ

50 ступенек.

Прислать комментарий

Задача 109617

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Решение

  Пусть n – число путников, обозначенных буквами P1, P2, ..., Pn. Рассмотрим величину Vij – скорость сближения Pi и Pj (для произвольных  1 ≤ i, j ≤ n;  если  i = j,  то  Vij = 0).  Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной (путники удаляются друг от друга). Заметим, что в течение всего рассматриваемого периода времени Vij не возрастает (а уменьшиться может только один раз – в результате встречи Pi и Pj или обгона одного из них другим). По условию в конце рассмотренного периода времени  
  Поскольку  Vij = Vji  (для любых  1 ≤ i < j ≤ n),  то     Отсюда следует, что найдётся такой номер j, что  
  Так как все Vij не возрастали в течение всего периода времени, то и последнее неравенство выполнялось в течение всего периода времени, что и требовалось.

Прислать комментарий

Задача 110016

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живёт в 33 км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25 км/ч, а с пассажиром – 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идёт по дороге со скоростью 5 км/ч. Докажите, что все трое могут добраться до бабушки за 3 часа.

Решение

Отец проезжает с первым сыном 24 км (на это уходит ⅕ часа). За это время второй сын пройдёт 6 км. Далее первый сын идёт пешком (на это уйдет 1⅘ часа, то есть он придёт к бабушке как раз через 3 часа). Отец возвращается за вторым сыном (между ними 18 км, а сближаются они со скоростью 30 км/ч, поэтому на это уйдет ⅗ часа). При этом второй сын шёл пешком то же время (1⅘ часа), что и первый, значит, он с отцом прибудет к бабушке в то же время.

Прислать комментарий

Задача 110112

Тема:   [ Задачи на движение ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)

Решение

  Пусть наблюдатель находится в точке O, а "Запорожец" и "Нива" в момент проезда "Москвича" мимо наблюдателя – в точках Z0 и N0 соответственно. Через Z1 и M1 обозначим точки, где находились соответственно "Запорожец" и "Москвич" в тот момент, когда мимо наблюдателя проезжала "Нива", а через M2 и N2 – точки, где находились соответственно "Москвич" и "Нива", когда с наблюдателем поравнялся "Запорожец".
  В силу постоянства скоростей  Z0Z1 : Z0O = OM1 : OM2Z0Z1 : Z1O = ON0 : ON2,  откуда  OM2 = Z0O·OM1/Z0Z1ON2 = ON0·OZ1/Z0Z1 .
  По условию  Z0O = ON0  и  OM1 = OZ1,  следовательно,  OM2 = ON2,  что и требовалось.
Прислать комментарий


Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 150]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .