ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 136]
РешениеПервое решение. Пусть – касательная к окружности, вписанной в треугольник ABC , параллельная AC ; 1 , 2 – касательные к вписанной окружности четырехугольника, параллельные . Рассмотрим гомотетию с центром B , переводящую окружность, вписанную в треугольник ABC , во вписанную окружность четырехугольника. Она переводит прямые и AC в 1 и 2 соответственно. Поскольку AC лежит ближе к B , чем 2 , то лежит ближе к B , чем 1 , т.е. вписанная в четырехугольник окружность не пересекает прямой . Аналогично она не пересекает параллельной AC прямой, касающейся окружности, вписанной в треугольник ACD , и значит, лежит внутри полосы, образованной этими двумя прямыми. Но ширина этой полосы равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники.Второе решение. Пусть r , r1 , r2 – радиусы вписанных окружностей четырехугольника ABCD и треугольников ABC , ACD соответственно; p , p1 , p2 – их полупериметры. Тогда p>p1 , p>p2 и Третье решение. Пусть диагонали пересекаются в точке O . Проведем касательную 1 ко вписанной в ABCD окружности σ , параллельную AC и отделяющую B от AC . Такая, очевидно, есть. Тогда из гомотетии, переводящей σ в окружность, вписанную в ABC , имеем, что коэффициент гомотетии r2/r больше, чем отношение расстояний от D до O и до B , то есть больше DO/BD . Из аналогичных соображений r1/r>BO/BD . Складывая, получаем требуемое.
Докажите, что в выпуклый четырёхугольник, суммы противоположных сторон которого равны между собой, можно вписать окружность.
Подсказка1) На отрезке AB возьмите такую точку T, для которой AT = AD, а на отрезке BC — такую точку S, для которой CS = CD. Биссектрисы углов B, A и C являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника DTS. 2) Пусть AB + CD = BC + AD и прямые AB и CD пересекаются в точке M. Впишите окружность в треугольник AMB и докажите, что она вписана в данный четырёхугольник.
Решение
Первый способ.
Пусть AB + CD = BC + AD. Тогда AB - AD = BC - CD. Если AB = AD, то BC = CD. Поэтому треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам, значит, диагональ AC делит пополам углы BAD и BCD. Из равенства треугольников ABC и ADC и их соответствующих углов ABC и ADC следует, что биссектрисы этих углов пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали AC. Поскольку точка O лежит на биссектрисе каждого из углов четырёхугольника, то она равноудалена от всех его сторон. Следовательно, O — центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD. Пусть теперь AB > AD. Тогда BC > CD. На отрезке AB возьмём такую точку T, для которой AT = AD, а на отрезке BC — такую точку S, для которой CS = CD. Поскольку
AT = AD, CS = CD, BT = AB - AT = AB - AD = BC - CD = BC - CS = BS,
то треугольники TBS, ADT и CDS — равнобедренные. Биссектрисы их
углов при вершинах B, A и C являются серединными перпендикулярами
к отрезкам TS, DT и DS соответственно, т.е. серединными перпендикулярами
к сторонам треугольника DTS. Поэтому биссектрисы углов B, A и C
пересекаются в одной точке — центре описанной окружности треугольника DTS.
Эта точка равноудалена от всех сторон четырёхугольника ABCD.
Следовательно, она является центром вписанной окружности четырёхугольника ABCD.
Аналогично для AB < AD.
Второй способ.
Пусть AB + CD = BC + AD и прямые AB и CD пересекаются в точке M. Впишем окружность в треугольник AMB. Пусть она полностью содержится в четырёхугольнике ABCD. Докажем, что она касается BC. Если это не так, то проведём через точку B касательную к окружности, пересекающую CD в точке C1. Тогда
AB + CD = BC + AD и AB + C1D = BC1 + AD.
Вычитая почленно эти равенства, получим:
CC1 + BC1 = BC,
что противоречит неравенству треугольника.
Аналогично рассматриваются остальные случаи.
Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.
ПодсказкаОтрезок общей внешней касательной к касающимся окружностям радиусов r и R, заключённый между точками касания, равен 2.
РешениеПусть x, y, z и t — радиусы данных окружностей, вписанных в углы A, B, C и D четырёхугольника ABCD. Расстояние между точками касания соседних окружностей со стороной AB равно 2, со стороной BC — 2, со стороной CD — 2 и со стороной AD — 2. Поскольку в данный четырёхугольник можно вписать окружность, то AB + CD = CB + AD, или
+ = + ( - ) - ( - ) = 0
( - )( - ) = 0.
Отсюда следует утверждение задачи.
РешениеПусть $AC \cap BD = O$. Будем считать, что $\angle AOB \ge 90^\circ$. Пусть $E$ – четвертая вершина параллелограмма $BECD$ (см.рис.). Мы имеем $$AC \cdot BD \ge 2S_{ABCD} = r \cdot P_{ABCD} = 2r \cdot (AB + CD).$$ Кроме того, $$AB + CD = AB + BE \ge AE$$ и (так как $\angle ECA\geq 90^{\circ}$) $$AE^2 \ge AC^2 + CE^2 = AC^2 + BD^2.$$ Отсюда получаем $$AC^2 \cdot BD^2 \ge 4r^2 \cdot (AC^2 + BD^2) \Rightarrow \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BD^2} \le \frac{1}{4r^2}.$$ Равенство достигается при $AC \cdot BD = 2S_{ABCD} \Leftrightarrow AC \perp BD$ и $AB + BE = AE \Leftrightarrow AB \| CD$, т.е. когда $ABCD$ – ромб.
РешениеПри решении этой задачи удобно считать, что четырёхугольник составлен из двух треугольников, поэтому введём следующие обозначения: ACBC' — данный четырёхугольник, A1 и B1 — точки касания со сторонами BC и AC, A1' и B1' — точки касания со сторонами BC' и AC', C1 и C1' — точки, в которых прямые A1B1 и A1'B1' пересекают прямую AB (точки C1 и C1' определены лишь в том случае, когда соответствующие прямые не параллельны). Если A1B1| AB, то AB1 : BA1 = B1C : A1C = 1. Поэтому AB1 = BA1, а значит, AB1' = BA1', поскольку AB1 = AB1' и BA1 = BA1'. Таким образом, A1'B1'| AB. Будем теперь считать, что точки C1 и C1' определены; нужно доказать, что они совпадают. Согласно теореме Менелая . . = 1. Учитывая, что A1C = B1C, получаем AC1 : C1B = AB1 : A1B. Аналогично AC1' : C1'B = AB1' : A1'B. Но AB1 = AB1' и BA1 = BA1'. Поэтому AC1 : C1B = AC1' : C1'B, а значит, C1 = C1', поскольку обе эти точки лежат вне отрезка AB.
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 136] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|