Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 397]
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 10,11
|
Основание пирамиды Хеопса – квадрат, а её боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
Может ли угол грани при вершине пирамиды равняться 100°?
Подсказка
Как изменяется величина угла при проектировании?
Решение
Пусть AB – одно из рёбер основания пирамиды, E – вершина пирамиды, а O – центр основания. Заметим, что треугольники ABE и ABO равнобедренные с основанием AB. При этом AE > AO и BE > BO (отрезок больше своей проекции). Поэтому ∠AEB < ∠AOB = 90°.
Ответ
Не может.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 10,11
|
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
a .
Боковое ребро образует с плоскостью основания угол
60
o .
Найдите высоту пирамиды.
Решение
Пусть
ABCP – данная правильная треугольная пирамида с вершиной
P ,
AB = BC = AC = a ,
M – центр равностороннего треугольника
ABC ,
PAM = PBM = PCM = 60
o . Поскольку пирамида
правильная,
PM – её высота. Из прямоугольного треугольника
PAM находим, что
PM = AM tg PAM =
· 
· tg 60o =
· 
= a.
Ответ
a .
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
a .
Через одно из рёбер основания проведена плоскость, перпендикулярная
противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отношении
m:n , считая от вершины основания. Найдите полную поверхность
пирамиды.
Решение
Пусть плоскость, проходящая через сторону
AB основания
ABC
правильной треугольной пирамиды
ABCD перпендикулярно боковому ребру
CD , пересекает это ребро в точке
M , причём
CM:DM = m:n . Обозначим
CM = mx ,
DM = nx . Тогда
BD = CD = (
m + n)
x . Поскольку ребро
CD
перпендикулярно секущей плоскости,
BM 
CD . По теореме Пифагора из
прямоугольных треугольников
BMC и
BMD находим, что
BC2 - CM2 = BD2 - DM2,
илиa2 - m2x2 = (m + n)2x2 - n2x2,
откуда
x2
= 
.
Пусть
K – середина
AB . Тогда
DK – апофема пирамиды
ABCD . Из
прямоугольного треугольника
DKB находим, что
DK = 
= 
.
= 
=
a
=
a
.
Пусть
S – искомая полная поверхность пирамиды. Тогда
S = SΔ ABC + 3SΔ ABD = 
+ 
a2 =
(1+
).
Ответ
(1
+)
.
Правильную четырёхугольную пирамиду пересекает плоскость,
проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному
боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше
площади основания пирамиды. Найдите отношение высоты пирамиды
к боковому ребру.
Решение
Пусть
PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной
P ,
α – угол между высотой
PO и боковым ребром. Тогда
искомое отношение высоты пирамиды к её боковому ребру равно
cos α .
Пусть плоскость сечения проходит через точку
A
перпендикулярно прямой
PC и пересекает рёбра
PC ,
PB и
PD в точках
M ,
K и
L соответственно. Поскольку прямая
DB и секущая плоскость
перпендикулярны прямой
PC , прямая
BD параллельна секущей плоскости.
Через прямую
BD проведена плоскость
BPD , пересекающая секущую
плоскость по прямой
KL . Значит,
KL || BD , а т.к.
AM 
BD
(теорема о трёх перпендикулярах), то
KL AM . Поэтому площадь
четырёхугольника
AKML равна половине произведения его диагоналей
AM и
KL .
Пусть отрезки
AM и
KL пересекаются в точке
N . Обозначим
сторону квадрата
ABCD через
a . Так как
MAC = OPC = α ,
а
ACM = 90
o - α , то
AM = AC cos α = a
cos α,
ON = OA tg α = 
a tg α,
PO = OC ctg α = a ctg α,
PN = PO - ON = a ctg α - a tg α =
a( ctg α - tg α),
= 
= 
= 1 - tg 2α,
LK = BD(1 - tg 2α) = a(1 - tg 2α),
SAKML = AM· KL = a cos α · a(1 - tg 2α) =
= a2 cos α (1 - tg 2α).
Тогда
= 
= cos α(1 - tg 2α).
Применив формулу
tg 2
α = 
- 1
, получим уравнение
cos α (2 - ) = ,
или
2 cos α - 
= ,
4 cos 2α - cos α - 2 = 0,
откуда находим, что
cos α = 
(второе решение не
удовлетворяет условию задачи). Следовательно,
= cos α = .
Ответ
.
Правильную четырёхугольную пирамиду
PQRST с вершиной
P
пересекает плоскость, проходящая через основание
M высоты
PM ,
перпендикулярная грани
SPT и параллельная ребру
ST . Высота
PM
в два раза больше ребра
ST . Найдите отношение площади
получившегося сечения к площади основания пирамиды.
Ответ
.
Страница:
<< 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 397]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Стереометрия
>>
Тетраэдр и пирамида
>>
Пирамида
>>
Правильная пирамида
