Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

   Решение

Докажите, что при любых натуральных  0 < k < m < n  числа    и    не взаимно просты.

   Решение

В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Найдите все целые решения уравнения  y^k = x² + x,  где k – фиксированное натуральное число, большее 1.

Подсказка

Разложите правую часть на множители и используйте взаимную простоту этих множителей.

Решение

y^k = x(x + 1).  Числа x и  x + 1  взаимно просты, поэтому x и  x + 1  являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при  k > 1  –  (–1, 0)  и  (0, 1).  Таким образом, x может принимать только два значения: 0 и –1. Остается проверить, что оба эти значения подходят и в обоих случаях  y = 0.

Ответ

(0, 0)  и  (–1, 0).

Источники и прецеденты использования