Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a1, ..., an, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Докажите, что при любых натуральных 0 < k < m < n числа и
не взаимно просты.
В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной,
стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает
извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит
параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90°
(в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?
|
|
 |
Условие
Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?
Решение
Опишем оптимальную процедуру обмена горючим. Сначала вылетают 100 самолётов с полным баком. Как только появляется возможность, один из самолётов разливает горючее другим, после чего становится 99 самолётов с полным баком,
а освободившийся самолёт совершает посадку. До этого момента самолёты
пролетят 1000·1/100 км. Аналогичным образом, когда появляется возможность, ещё один самолёт разливает своё горючее оставшимся (до этого момента самолёты пролетят ещё 1000·1/99 км) и т.д. В последний раз горючее переливается флагману.
В результате этого процесса флагман пролетит
1000·(1 + 1/2 + ... + 1/100) ≈ 5187 км.
Теперь покажем оптимальность описанной выше процедуры. Примем за единицу горючего бак самолёта, за единицу времени – время, за которое самолёт пролетает 1000 км, за единицу расстояния – 1000 км. Если в воздухе находится N самолётов, то скорость сгорания горючего равна N. Если общий объём горючего в баках равен V, то в воздухе находится не менее чем самолётов, а значит, и скорость сжигания горючего не меньше чем
. Забудем теперь о самолётах, а будем помнить только то, что скорость сжигания горючего не меньше верхней целой части объёма горючего. Нам надо, чтобы горючее горело как можно дольше. Но тогда его невыгодно жечь быстрее, чем со скоростью
. Действительно, если некоторое время мы жгли горючее быстрее, чем со скоростью
, то при сжигании горючего со скоростью
за это время мы сожгли бы меньше горючего, а значит, тот же объём горючего закончится через большее время.
Замечания
– наименьшее целое число, не меньшее x.
