Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a1, ..., an, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?
Докажите, что при любых натуральных 0 < k < m < n числа и
не взаимно просты.
В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной,
стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает
извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит
параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90°
(в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?
|
|
 |
Условие
В квадрате ABCD находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то
двумя из них не превосходит
AC.
Решение
Проведя через центр квадрата прямые, параллельные его сторонам, разрежем квадрат на 4 одинаковых квадрата. Какие-то 2 из 5 точек лежат в одном из этих квадратов, и расстояние между ними не превосходит длины диагонали этого квадрата.
