Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

   Решение

Докажите, что при любых натуральных  0 < k < m < n  числа    и    не взаимно просты.

   Решение

В каждой клетке квадрата 101×101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
  1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
  2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?

   Решение

Темы:    [ Кубические многочлены ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Итерации ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Укажите способ приближенного нахождения положительного корня уравнения  x³ – x – 1 = 0.

Решение

Запишем уравнение в виде  x² = 1 + ¹/_x.  Рассмотрим последовательность     и докажем, что она сходится к положительному корню x₀ нашего уравнения. Действительно все члены последовательности не меньше 1, поэтому

 

Замечания

Метод Ньютона (см. задачу 61328) даёт более быстрый способ приближённого нахождения корня, но обосновать его сложнее.

Источники и прецеденты использования