ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108995
Темы:    [ Упаковки ]
[ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]
[ Системы точек ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что в круге радиуса 10 нельзя поместить 400 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1.

Решение

Круг радиуса 10 имеет площадь 100π . Если расстояние между двумя точками равно 1, то круги радиуса 0,5 с центрами в этих точках касаются друг друга. Площадь 400 таких кругов радиуса 0,5 равна 400· π· 0,52=100π . Если такие круги поместить вплотную друг к другу, то они займут площадь большую, чем 100π кв. ед., так как между кругами будут зазоры. Отсюда ясно, что их нельзя поместить в круг радиуса 10 ед. Тем более нельзя поместить 400 точек в этот круг так, чтобы расстояние между ними было больше, чем единица.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год 1963
Номер 13
Название 13-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название Задача 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .