ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34876
Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Круг, сектор, сегмент и проч. ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Круг поделен n диаметрами на 2n равных секторов, из которых n красных и n синих. В красные сектора, начиная с некоторого, подряд по часовой стрелке расставляются числа 1,2,...,n; в синие сектора, начиная с некоторого, также подряд расставляются числа 1,2,...,n, но против часовой стрелки. Докажите, что найдется диаметр, по каждую сторону от которого встречаются числа 1,2,...,n ровно по одному разу.

Подсказка

Выберите ближайшую пару равных чисел разного цвета.

Решение

Условимся называть красными числа, стоящие в красных секторах, и синими - стоящие в синих секторах. Расстоянем между двумя числами a и b назовем количество чисел, расположенных на меньшей дуге между числами a и b. Числа, расставленные по окружности, разбиваются на пары равных. Выберем ту пару равных чисел, расстояние между которыми наименьшее (если таких пар несколько, выберем одну из них). Пусть для определенности выбранная пара - красная единица и синяя единица, причем меньшая дуга s между ними идет от красной единицы к синей против часовой стрелки. На дуге s либо нет чисел (т.е. две единицы стоят рядом), либо все числа одного цвета, иначе красное и синее числа n были бы на расстоянии меньшем, чем расстояние между единицами. Пусть все числа на этой дуге (если они есть) - синие (случай, когда они красные, аналогичен). Проведем диаметр, отделяющий синюю единицу от числа, следующего за ним по часовой стрелке; покажем, что этот диаметр искомый. Действительно, рассмотрим полукруг, содержащий синюю единицу. Прочтем синие числа, записанные в этом полукруге, начиная с единицы против часовой стрелки - это числа 1,2,...l (l - некоторое число). Прочтем теперь красные числа. Поскольку на дуге s нет красных чисел, то это будут числа n,n-1,...,n-m (m - некоторое число). Т.к. всего в полукруге n чисел, то в нем записаны все числа от 1 до n по одному разу.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .