Информация о задаче

Задача 54323

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Площадь трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основание MQ трапеции MNPQ ( MQ || NP, MQ > NP) является диаметром окружности, которая касается прямой MN в точке M и пересекает сторону PQ в точке K, причём PQ = 4 $\sqrt{3}$ KQ. Радиус окружности равен R, $\angle$ NQM = 60^o. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

$\angle$ KMQ = 15^o.

Решение

Обозначим KQ = x, PQ = 4x $\sqrt{3}$ . Пусть $\angle$ KMQ = $\alpha$ , F — проекция точки P на MQ. Тогда $\angle$ FPQ = $\angle$ KMQ = $\alpha$ . В прямоугольном треугольнике PFQ известно, что

cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{PF}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{MN}{PQ}}$ = $\displaystyle {\frac{2R\sqrt{3}}{4x\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{R}{2x}}$ .

Поскольку sin² $\alpha$ + cos² $\alpha$ = 1, то

$\displaystyle {\frac{x^{2}}{4R^{2}}}$ + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{4x^{2}}}$ = 1.

Отсюда находим, что

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{x}{2R}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

Следовательно, $\alpha$ = 15^o. Тогда

NP = MF = MQ - FQ = 2R - $\displaystyle {\frac{R(3 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}}$ = 4R(2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ ),

S_MNPQ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (MQ + NP)^.MN = 2R²(5 $\displaystyle \sqrt{3}$ - 6).

Ответ

2R²(5 $\sqrt{3}$ - 6).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2086