Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 152]
Какие веса могут иметь три гири для того, чтобы с их помощью можно было взвесить любое целое число килограммов от 1 до 10 на чашечных весах (гири можно ставить на обе чашки)? Приведите пример.
Решение
Возьмём, например, гири веса 3, 4 и 9 кг: 1 = 4 – 3, 2 = 9 – 3 – 4, 5 = 9 – 4, 6 = 9 – 3, 7 = 3 + 4, 8 = 3 + 9 – 4, 10 = 4 + 9 – 3.
Ответ
Например, гири 3, 4 и 9 кг.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8
|
Имеются
чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна
из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного
веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?
Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
Подсказка
При поиске фальшивой монеты среди трех монет попробуйте
положить на каждую чашку весов по одной монете, среди 4 — по две,
а среди 9 — по три монеты.
Решение
Если у нас 3 монеты, достаточно одного взвешивания. Кладём
на каждую чашку весов по одной монете, при этом если одна из чашек
легче, значит, фальшивая монета на ней. Если же весы в равновесии,
то фальшивая монета та, которую не положили на весы.
Если у нас 4 монеты, то потребуется два взвешивания: при первом кладём
на каждую чашку весов по 2 монеты, при втором берём те 2 монеты, которые
оказались легче, и кладём их по одной на каждую чашку. Та монета,
которая легче, — фальшивая.
Если у нас монет 9, снова потребуется два взвешивания. Делим монеты
на три группы по 3 монеты и кладём две из этих троек на две чашки весов.
Если весы в равновесии — рассматриваем те 3 монеты, которые мы
не клали на весы. Если весы не в равновесии — рассматриваем
те 3 монеты, которые легче. Теперь задача свелась к самой первой: "есть
3 монеты, одна из них фальшивая". Как мы уже знаем, в этом случае для
определения фальшивой монеты требуется только одно взвешивание.
Ответ
1; 2; 2.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7,8
|
Имеются
чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна
из монет фальшивая, причём неизвестно, легче она настоящих монет или
тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы
определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда
имеется 4 монеты и 9 монет.
Подсказка
Обратите внимание: требуется определить фальшивую монету,
при этом вовсе не требуется указывать, легче она, чем настоящие, или
тяжелее.
Решение
Если у нас 3 монеты, достаточно двух взвешиваний. Кладём
на каждую чашку весов по одной монете. Если весы не в равновесии,
значит, та монета, которая осталась, — настоящая. Кладём её на весы
с любой из остальных и сразу определяем, какая из них фальшивая. Если же
весы в равновесии, значит, фальшивая монета та, которая осталась,
и вторым взвешиванием можно даже определить, легче она или тяжелее, чем
настоящие.
Если у нас 4 монеты, опять достаточно двух взвешиваний. Разделим наши
монеты на две кучки по 2 монеты и положим одну из кучек на весы —
по монете на каждую чашку. Если весы в равновесии, то обе монеты на них
настоящие. Если весы не в равновесии, то обе монеты на столе настоящие.
Итак, теперь мы знаем, в какой кучке лежит фальшивая монета. Положим
на одну чашку весов монету из кучки, где обе настоящие, на вторую —
монету из кучки, где фальшивая. Если при этом весы будут в равновесии,
значит, фальшивая монета осталась на столе, а если не в равновесии,
значит, мы положили её на весы (в этом случае мы даже узнаем, легче она
или тяжелее).
Если у нас монет 9, потребуется три взвешивания. Делим монеты на три
кучки по 3 монеты и кладём две из этих троек на две чашки весов. Если
весы в равновесии — в оставшейся кучке находится фальшивая монета,
и за два взвешивания (как это показано в случае 1 настоящей задачи) мы
определим фальшивую монету. Итак, всего нам понадобится три взвешивания.
Пусть теперь весы не будут в равновесии, значит, одна из кучек
на весах — с фальшивой монетой, а в той кучке, которая осталась,
только настоящие. Кладём на весы эту кучку и любую из первых двух. Так
мы найдём не просто кучку с фальшивой монетой, но и сразу определим,
легче эта монета или тяжелее настоящих. Мы проделали два взвешивания,
но зато теперь уже только одним взвешиванием (как показано в случае 1
задачи 49) можем определить фальшивую монету. Итак, всего
нам понадобится три взвешивания.
Ответ
2; 2; 3;4.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 5,6,7
|
Лиса Алиса и Кот Базилио — фальшивомонетчики. Базилио
делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса — легче. У Буратино есть 15
одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна — фальшивая.
Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может
определить, кто сделал фальшивую монету — Кот Базилио или Лиса
Алиса?
Подсказка
Обратите внимание: от Буратино вовсе не требуется узнать,
какая именно монета фальшивая. Требуется только, чтобы он определил, кто
сделал эту монету — Кот Базилио или Лиса Алиса, или, что то же
самое, тяжелее фальшивая монета, чем настоящие, или легче.
Решение
Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4,
или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет.
При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой
величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты
на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при
втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку
с бракованной монетой, а на вторую — столько настоящих монет, сколько
всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит,
легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее.
Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит,
все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино уберёт с весов
лёгкую кучку, а монеты из тяжёлой кучки разделит на две равные части
и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно
добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы
оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если
нет, то тяжелее.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8
|
Какие восемь монет нужно взять, чтобы с их помощью можно было бы без сдачи заплатить любую сумму от 1 коп. до 1 руб.?
(В хождении были монеты в 1, 3, 5, 10, 20 и 50 коп.)
Подсказка
Попробуйте разбить эту задачу на две: сначала найдите монеты, при помощи которых можно заплатить любую сумму от 1 до 10 коп., затем – монеты, при помощи которых можно заплатить 10, 20, ..., 90 коп.
Решение
Возьмём монеты достоинством 1, 1, 3, 5, 10, 10, 20, 50 коп. Нетрудно проверить, что первые четыре монеты позволяют выплатить любую сумму от 1 до 9 коп., а последние четыре – любую кратную 10 сумму от 10 до 100 коп. Следовательно, располагая указанным набором монет, можно заплатить любую сумму от 1 коп. до 100 коп.
Ответ
1, 1, 3, 5, 10, 10, 20, 50 коп.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 152]
Фильтр
