Информация о задаче

Задача 102257

Темы:	[	Удвоение медианы	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна $\sqrt{7}$ .

Подсказка

На продолжении медианы AM данного треугольника отложите отрезок MD, равный отрезку AM.

Решение

На продолжении медианы AM данного треугольника ABC со сторонами AB = 2 и AC = 4 отложим отрезок MD, равный отрезку AM. Тогда четырёхугольник ABDC — параллелограмм, поэтому CD = AB = 2. Применяя теорему косинусов, из треугольника ACD находим, что

cos $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2}}{2\cdot AC\cdot CD}}$ = $\displaystyle {\frac{16+4-4\cdot7}{2\cdot 4\cdot 2}}$ = - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ,

поэтому $\angle$ ACD = 120^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACD = 180^o - 120^o = 60^o.

Ответ

60^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3684