Информация о задаче

Задача 102314

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Перегруппировка площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На координатной плоскости заданы точки A(0;2), B(1;7), C(10;7) и D(7;1). Найдите площадь пятиугольника ABCDE, где E — точка пересечения прямых AC и BD.

Подсказка

Если y₁ $\ne$ y₂ и x₁ $\ne$ x₂, то уравнение прямой, проходящей через точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂), имеет вид

$\displaystyle {\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Решение

Известно, что если y₁ $\ne$ y₂ и x₁ $\ne$ x₂, то уравнение прямой, проходящей через точки (x₁;y₁) и (x₂;y₂), имеет вид

$\displaystyle {\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Тогда уравнение прямой, проходящей через точки A(0;2) и C(10;7) таково:

$\displaystyle {\frac{y-7}{2-7}}$ = $\displaystyle {\frac{x-10}{0-10}}$ , или y = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x + 2,

а уравнение прямой, проходящей через точки B(1;7) и D(7;1) —

$\displaystyle {\frac{y-1}{7-1}}$ = $\displaystyle {\frac{x-7}{1-7}}$ , или y = - x + 8.

Координаты точки пересечения прямых AC и BD — это решение системы

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} y = \frac{1}{2}x+2\\ y = -x+8,\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} y = \frac{1}{2}x+2\\ y = -x+8,\\ \end{array}$

т.е. x = 4, y = 4. Таким образом, E = E(4;4). Заметим, что

S_ABCDE = S_BAC + S_BDC - S_BEC.

Треугольники BAC, BDC и BEC имеют общее основание BC и высоты h_A = 7 - 2 = 5, h_D = 7 - 1 = 6 и h_E = 7 - 4 = 3. Следовательно,

S_ABCDE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.(h_A + h_D - h_E)^.BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.(5 + 6 - 3)^.9 = 36.

Ответ

36.00

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3741