ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105187
Темы:    [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.


Решение

  Достаточно доказать утверждение для трёхчленов вида  ax² + c:  остальные можно получить из них сдвигом вдоль оси абсцисс. Более того, можно считать  a = 2:  остальные трёхчлены указанного вида можно получить из таких умножением на число. Рассмотрим два случая.
  1)  c ≥ 0.  Запишем c в виде 2d². Имеем:  2x² + 2d² = (x – d)² + (x + d)².
  2)  c < 0.  Запишем c в виде  – 4d².  Имеем:  2x² – 4d² = 2(2(x – d)² – (x – 2d)²).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 67
Год 2004
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .