ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108612
Темы:    [ Перегруппировка площадей ]
[ Концентрические окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Учитель продиктовал классу задание, которое каждый ученик выполнил в своей тетради. Вот это задание:

  Нарисуйте две концентрические окружности радиусов 1 и 10. К малой окружности проведите три касательные так, чтобы их точки пересечения A, B и C лежали внутри большой окружности. Измерьте площадь S треугольника ABC и площади SA, SB и SC трёх образовавшихся криволинейных треугольников с вершинами в точках A, B и C. Найдите  SA + SB + SC – S.

Докажите, что у всех учеников (если они правильно выполнили задание) получились одинаковые результаты.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Рассмотрим хорды – отрезки касательных, заключённые внутри большой окружности. Сложив площади трёх отсекаемых этими хордами от большой окружности сегментов, не содержащих треугольника ABC, и вычтя площадь большого круга, мы получим как раз  SA + SB + SC – S.  Поскольку все три рассматриваемые хорды равноудалены от центра окружности, то площади упомянутых сегментов не зависят от положения касательных.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4298
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .