ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108643
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что  ∠A + ∠D = 120°  и  AB = BC = CD.
Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин A и D.


Решение

  Обозначим  ∠CAD = α,  ∠ADB = β,  ∠BDC = ∠DBC = γ,  ∠ACB = ∠BAC = δ.
  Пусть O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Поскольку AOB – внешний угол треугольников AOD и BOC, то
2∠AOB = (α + β) + (γ + δ) = (α + δ) + (β + γ) =∠BAD + ∠ADC = 120°,  поэтому  ∠AOB = 60°,  ∠BOC = 120°.  Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Пусть E – точка пересечения прямых AB и CD. Тогда  ∠AED = 60°.
  Сумма противоположных углов BEC и BOC четырёхугольника BECO равна 180°, значит, около него можно описать окружность. Поэтому
BEO = ∠BCO = δ = ∠EAC,  то есть треугольник AEO – равнобедренный,  AO = OE.  Аналогично  DO = OE.  Следовательно,  OA = OD.

  Второй способ. Заметим, что  ∠B + ∠C = 240°,  ∠OBC + ∠OCB = 60°.  Поэтому  ∠ABD + ∠ACD = 180°.   На продолжении отрезка DB за точку B отложим отрезок  BK = CA.  Тогда треугольник ABK равен треугольнику DCA по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  AK = AD,
KAD = ∠BAD + ∠CDA = 120°.
  Значит,  ∠ODA = 30°.  Аналогично,  ∠OAD = 30°.  Следовательно,  AO = OD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4459

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .