Задача 108849

Темы:    [ Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов ] [ Полярный трехгранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла – острые. Докажите, что все его плоские углы – также острые.

Решение

Пусть α , β , γ – плоские углы трёхгранного угла SABC с вершиной S , противолежащие рёбрам SA , SB , SC соответственно; A , B , C – двугранные углы при этих рёбрах. Докажем, что

cos α = , cos β = , cos γ = .
Из произвольной точки O , взятой внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры на грани трёхгранного угла. Получим новый трёхгранный угол (полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские и двугранные углы дополняют соостветственно двугранные и плоские углы данного трёхгранного угла до 180^o . Применив к полярному углу теорему косинусов для трёхгранного угла, получим, что
cos (180^o - α) = ,

cos (180^o-β) = ,

cos (180^o-γ) = .
Поэтому
- cos α = , - cos β = ,

- cos γ = .
Следовательно,
cos α = , cos β = , cos γ = .
Тогда, если все двугранные углы – острые, их косинусы положительны, и из полученных формул следует, что положительны и косинусы всех плоских углов. Поэтому все плоские углы – острые.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7440