Задача 108929

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах BC , AC и AB равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) выбраны соответственно точки A1 , B1 и C1 . Известно, что BC1A1 = CA1B1= BAC ; P – точка пересечения отрезков BB1 и CC1 . Докажите, что четырёхугольник AB1PC1 – вписанный.

Решение

Обозначим

BC1A1 = CA1B1= BAC = α, ABB1=β.
Четырёхгольник ABA1B1 – вписанный, т.к.
BAB1 = 180^o - CA1B1 = 180^o - α = 180^o - BAB1.
Поэтому
AA1B1 = ABB1 = β.
Из равенства углов BC1A1 и BAC следует параллельность прямых A1C1 и AC , а т.к. при этом C1AC = A1CA , то AC1A1C – равнобедренная трапеция. Поэтому
AC1P = AC1C = AA1C= CA1B1+ AA1B1 = α + β.
Из треугольника ABB1 находим, что
AB1P = AB1B = 180^o- BAB1- ABB1 = 180^o-α-β = 180^o- AC1P.
Следовательно, около четырёхугольника AB1PC1 можно описать окружность.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6280