Задача 109183

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Найти последние четыре цифры числа 5¹⁹⁶⁵.

Решение

Заметим, что  5ⁿ⁺⁴ ≡ 5ⁿ (mod 10⁴)  при  n ≥ 4.  Действительно,  5ⁿ⁺⁴ – 5ⁿ  делится на 5⁴ и  5⁴ ≡ 9² ≡ 1 (mod 16).  Число 1965 при делении на 4 даёт остаток 1, следовательно,  5¹⁹⁶⁵ ≡ 5⁵ = 3125 (mod 10⁴).

Ответ

3125.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Название	15-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Год	1965
Номер	15
неизвестно
Название	Задача 8.1