Задача 109255

Темы:    [ Равногранный тетраэдр ] [ Развертка помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде PABC суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A и B равны по 180^o и PC = AB . Внутри пирамиды взята некоторая точка D , сумма расстояний от которой до трёх боковых граней PAB , PAC и PBC равна 7. Найдите расстояние от центра описанного шара до грани PAB , если объёмы пирамид PABC и DABC относятся как 8:1.

Решение

Рассмотрим развёртку P1AP2CP3BP1 тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABC (рис.1), причём точки P1 , P2 и P3 – вершины треугольников с основаниями AB , AC и BC соответственно. Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин A и B тетраэдра PABC равны 180^o , точка A лежит на отрезке P1P2 , а точка B – на отрезке P1P3 , причём A и B – середины этих отрезков. Поэтому AB – средняя линия треугольника P1P2P3 . Значит, P2P3 = 2AB , а т.к. PC = AB , то CP2 = CP3 = AB , поэтому CP2 + CP3 = P2P3 . Это означает, что точка C лежит на отрезке P2P3 , причём C – середина этого отрезка (рис.2). Таким образом, AC , AB и BC – средние линии треугольника P1P2P3 . Следовательно,

BC = AP1 = AP, AC = BP1 = BP,
т.е. противолежащие рёбра тетраэдра ABCD попарно равны. Значит, все грани тетраэдра – равные треугольники (по трём сторонам). Докажем, что центр вписанного шара этого тетраэдра совпадает с центром вписанного шара. Пусть O – центр шара радиуса R , описанного около данного тетраэдра (рис.3). Перпендикуляры, опущенные из точки O на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней, а т.к. тетраэдр – равногранный, то все его грани – равные остроугольные треугольники. Поэтому радиусы их описанных окружностей равны, а центры этих окружностей расположены внутри граней. Обозначим их через R1 . Тогда расстояния от точки O до плоскостей граней равны = r . Значит, точка O удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r . Следовательно, O – центр вписанной сферы, а r – радиус этой сферы. Пусть S – площадь каждой из четырёх граней тетраэдра PABC , H – высота тетраэдра, проведённая из вершины P , а x , y , z и t – высоты пирамид DABP , DACP , DBCP и DABC , проведённые из их общей вершины D (рис.4). Из условия задачи следует, что H = 8t , а т.к.
V_DABP + V_DACP + V_DBCP + V_DABC = V_PABC,
то
S· x + S· y + S· y + S· z =

= S· (x + y + z + t) = S· (7 + t) = S· H
откуда
7 + t = H = 8t, t = 1, H = 8.
Значит,
V_PABC = S· H = · 8S.
а т.к. V_PABC = · 4S· r , то
r = = = 2.

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8044