Задача 109385

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром b и площадью Q боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD с боковыми рёбрами DA = DB = DC = b , K - середина AB . Обозначим AB = BC = AC = a . Тогда

AM = , DK = = ,

Q = S_{Δ ABD} = AB· DK = a = a2 - a2,

4Q = a, 16Q2 = 4a2b2 - a4, a4 - 4a2b2 + 16Q2 = 0.
Из полученного уравнения находим, что
a2 = 2b2 .
Поэтому
DM = =

= .
Следовательно,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DM = · · DM

= · (2b2 )

= (b2 ).

Ответ

(b2 ) (если 2Q < b2 < , то оба решения).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8475