Задача 109405

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды с боковым ребром b и площадью Q боковой грани.

Решение

Пусть M – центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды PABCDEF с боковыми рёбрами PA = PB = PC = PD = PE = PF = b , K – середина AB . Обозначим AB = BC = CD = DE = EF = AF = a . Тогда

AM = a, PK = = ,

Q = S_{Δ APB} = AB· PK = a = a,

4Q = a, 16Q2 = 4a2b2 - a4, a4 - 4a2b2 + 16Q2 = 0.
Из полученного уравнения находим, что
a2 = 2b2 -
(второй корень не удовлетворяет условию задачи, т.к. b > a ). Поэтому
PM = = = =

=.
Следовательно,
V_PABCDEF = S_ABCDEF· PM = · · PM =

= · · (2b2 - )· =

=(2b2 - ) .

Ответ

(2b2 - ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8495