Задача 109420

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с высотой h и плоским углом ϕ при вершине пирамиды.

Решение

Пусть K – середина стороны BC основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD , M – центр основания ABC . По условию задачи BDC = ϕ . Обозначим AB = BC = AC = a . Из прямоугольных треугольников BKD и BMD находим, что

BD = = = ,

BD2 = DM2 + BM2 = h2 + a2.
Из уравнения
· = h2 + a2
находим, что
a2 = .
Следовательно,
V_ABCD = · a2· h = · a2h = · =.

Ответ

= .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8510