Задача 110261

Тема:    [ Перпендикулярность в пространстве (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Точка M равноудалена от вершин треугольника ABC . Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ABC есть центр описанной около треугольника ABC окружности.

Решение

Если точка M лежит в плоскости треугольника ABC , то утверждение очевидно. Пусть M1 – ортогональная проекция точки M , не лежащей в плоскости ABC , на эту плоскость. Тогда прямая MM1 перпендикулярна плоскости ABC . Значит, прямая MM1 перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в частности, прямым M1A , M1B и M1C . Поэтому треугольники AMM1 , BMM1 и CMM1 – прямоугольные. Они равны по катету ( MM1 – общий катет) и гипотенузе ( MA = MB = MC по условию). Значит, M1A = M1B = M1C , т.е. M1 – центр окружности, описанной около треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8167