Задача 110415

Темы:    [ Сфера, описанная около пирамиды ] [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу, центр которой лежит в плоскости основания ABCD . Диагонали AC и BD основания пересекаются в точке H , причём SH – высота пирамиды. Найдите рёбра CS и CD , если CH = 4 , AS = 3 , AD=3 , AB=BS .

Решение

Рассмотрим сечение данной сферы с центром O плоскостью ASC (рис.1). Плоскость ASC проходит через перпендкуляр SH к плоскости ABCD . Значит, эти плоскости перпендикулярны. Поэтому перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую AC , является также перпендикуляром к плоскости сечения, а поэтому проходит через центр окружности сечения. Следовательно, AC – диаметр окружности сечения, а угол ASC – прямой. Так как SH – высота прямоугольного треугольника ASC , проведённая из верщины прямого угла, то

AS2 = AH· AC, или ()2 = AH(AH + 4).
Из этого уравнения находим, что AH = . Следовательно,
SC = = = = 5.
Так как BA = BS (по условию) и OA = OS (как радиусы сферы), то точки B и O равноудалены от концов отрезка AS , т.е. лежат в плоскости, перпендикулярной AS и проходящей через середину отрезка AS (рис.1). Значит, BO AS . Прямая AC – ортогональная проекция наклонной AS на плоскость ABCD . По теореме о трёх перпендикулярах BO AC . Диаметр BB1 окружности, описанной около четырёхугольника ABCD (рис.3), перпендикулярен хорде AC , поэтому BB1 делит эту хорду пополам. Значит, треугольник ABC – равнобедренный ( BA = BC ). Из равенства хорд BA и BC следует равенство углов ADB и CDB . Таким образом, DH – биссектриса треугольника ADC . По свойству биссектрисы треугольника
= , или = = ,
откуда CD = .

Ответ

5; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8601