|
|
 |
Условие
На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD выбрана точка M так, что ∠AMD = ∠ADB и ∠ACM = ∠ABC. Утроенный квадрат отношения расстояния от точки A до прямой CD к расстоянию от точки C до прямой AD равен 2, CD = 20. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ACD.
Решение
Пусть hA – расстояние от точки A до прямой CD, а hC – расстояние от точки C до прямой AD. По условию
Поскольку высоты треугольника ACD обратно пропорциональны сторонам, на которые они опущены, то
Треугольники AMD и ADB подобны по двум углам. Также подобны треугольники ABC и ACM. Поэтому AM : AD = AD : AB, AM : MC = AC : AB, откуда AD² = AM·AB = AC².
Значит, AD = AC, то есть треугольник ACD – равнобедренный. Пусть p – полупериметр этого треугольника, r – радиус вписанной окружности. Тогда
Следовательно,
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4420 |
