ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111120
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть V ─ объём тетраэдра, S₁ и S₂ ─ площади двух граней, a ─ длина их общего ребра, φ ─ величина двугранного угла между
ними. Докажите, что V = 
2
3
 · 
SS₂ sin φ
a
.

Решение

Пусть ребро AB тетраэдра ABCD равно a, угол между гранями ABC и ABD равен φ, SABC = S₁, SABD = S₂.

Если DH ─ высота тетраэдра, опущенная на основание ABC, а HM ─ перпендикуляр, опущенный из точки H на AB, то по теореме о трёх перпендикулярах DM ⊥ AB. Значит, DMH ─ линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB. Поэтому ∠DMH = φ. Тогда

V = VABCD = ⅓SABC · DH = ⅓S₁ · DM sin φ =

1
3
S₁ · 
2S
a
 sin φ = 
2
3
 · 
SS₂ sin φ
a
.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8301

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .