ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111122
Тема:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3, и 4. Найдите угол между его диагоналями.

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDABCD₁, в котором AB = 2, AD = 3, AA₁ = 4. Пусть его диагонали пересекаются в точке O. Сечение параллелепипеда плоскостью ADCB₁ ─ прямоугольник со сторонами

AD = BC₁ = 3,   DC₁ = AB₁ = 
AA₁² + AB₁²
 = 
16 + 4
 = 
25
.

Обозначим ∠AOD = α. Угол AOD ─ внешний угол равнобедренного треугольника AOB₁,
поэтому ∠CAB₁ = 
α
2
. Из прямоугольного треугольника ACB₁ находим, что

tg 
α
2
 = 
BC
AB
 = 
3
25
 = 
3
5
10
 < 1.

Значит, 
α
2
 < 45°, а α < 90°. Поэтому AOD ─ угол между диагоналями данного
прямоугольного параллелепипеда. Поскольку tg 
α
2
 = 
3
5
10
, то

cos α = 
1 − tg² 
α
2
1 + tg² 
α
2
 = 
1 − 
9
20
1 + 
9
20
 = 
11
29
.

Следовательно, α = arccos 
11
29
.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8303

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .