Задача 115289

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S , а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S , причём BD=AB . Прямая CD пересекает S в точке E . Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S .

Решение

Точки A , C и D равноудалены от точки B , поэтому точка B — центр окружности S1 , описанной около треугольника ACD . Угол ADC вписан в окружность S1 , а ABC — центральный угол этой окружности, поэтому

ADE = ADC = ABC = 30^o.
Пусть O — центр окружности S . Тогда AOE — центральный угол окружности S , соответствующий вписанному углу ADE . Поэтому
AOE = 2 ADE = 60^o,
значит, треугольник AOE — также равносторонний. Следовательно, OE=AE . Точки O и C равноудалены от концов отрезка AB , поэтому прямая OC — серединный перпендикуляр к этому отрезку, значит, OC — биссектриса угла AOB . Тогда
AOC = AOB = · 2 AEB= AEB = AED = AEC.
Поскольку EO=EA , точки O и A лежат на окружности S2 с центром E . Докажем, что точка C также лежит на этой окружности. Отсюда будет следовать требуемое равенство отрезков OE и EC . Предположим, что луч OC пересекает окружность в некоторой точке C1 . Тогда AEC1 — центральный угол окружности S2 , соответствующий вписанному углу AOC1 , поэтому
AEC1 = 2 AOC1 = 2 AOC= AEC.
Следовательно, точка C1 совпадает с точкой C . Отсюда следует, что точка C лежит на окружности S2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2965