Задача 115319

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC с углом B , равным 60^o , проведена биссектриса CL . Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC . Описанная окружность треугольника ALI пересекает сторону AC в точке D . Докажите, что точки B , L , D и C лежат на одной окружности.

Решение

Лучи AI и CI — биссектрисы углов BAC и ACB треугольника ABC , поэтому

AIC = 90^o+ ABC = 90^o+· 60^o = 90^o+ 30^o = 120^o,
значит,
AIL = 180^o- AIC = 180^o-120^o= 60^o.
Рассмотрим описанную окружность треугольника ALI . Вписанные в неё углы ADL и AIL опираются на одну и ту же дугу, значит, ADL = AIL = 60^o . Тогда
CDL + LBC = (180^o- ADL)+ ABC = (180^o-60^o)+60^o= 180^o.
Следовательно, четырёхугольник BLDC — вписанный, т.е. точки B , L , D и C лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6323