Задача 115564

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Один из смежных углов с вершиной A вдвое больше другого. В эти углы вписаны окружности с центрами O1 и O2 . Найдите углы треугольника O1AO2 , если отношение радиусов окружностей равно .

Решение

Один из смежных углов равен 60^o , а второй — 120^o .
Пусть окружность с центром O1 радиуса r вписана в угол, равный 60^o , а окружность с центром O2 радиуса r — в угол, равный 120^o (рис.1), причём окружности касаются прямой, содержащей дополнительные стороны этих углов, в точках B и C соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому

O1AB = 30^o, O2AC = 60^o, O1AO2=90^o.
Из прямоугольных треугольников O1AB и O2AC находим, что
AO1=2O1B=2r, AO2== =2r.
Треугольник O1AO2 — прямоугольный и равнобедренный, следовательно, его острые углы равны по 45^o .
Пусть теперь окружность с центром O1 радиуса r вписана в угол, равный 120^o , а окружность с центром O2 радиуса r — в угол, равный 60^o (рис.2), причём окружности касаются прямой, содержащей дополнительные стороны этих углов, в точках B и C соответственно. Из прямоугольных треугольников O1AB и O2AC находим, что
AO1==, AO2=2O2C=2r.
Следовательно,
tg AO1O2 = = =3, tg AO2O1=.

Ответ

90^o , 45^o , 45^o или 90^o , arctg 3 , arcctg 3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3338