Задача 115715

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точки D, E и F выбраны на сторонах AC, AB и BC равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC)  так, что  DE = DF  и при этом  AE + FC = AC.
Докажите, что  ∠A = ∠FDE.

Решение

  Отметим на основании AC точку D', для которой  CD' = AE.  Тогда  AD' = FC,  поэтому треугольники AED' и CD'F равны по двум сторонам и углу между ними, значит,  D'E = D'F.
  Точки D и D' равноудалены от концов отрезка EF, поэтому обе они лежат на серединном перпендикуляре к EF, а значит, совпадают. Следовательно,
∠A = ∠EAD = 180° – ∠ADE – ∠AED = 180° – ∠ADE – ∠CDF = ∠FDE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2271