Задача 116319

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Сфера, вписанная в двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Точка O расположена в сечении ACC'A' прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' размером 2× 3× 6 так, что OCB + OCD + OCC' = 180^o . Сфера с центром в точке O касается плоскостей A'B'C' , CC'D и не имеет общих точек с плоскостью BB'C . Найдите расстояние от точки O до этой плоскости.

Решение

Обозначим OCB =α , OCD=β , OCC'= γ . По условию задачи α+β+γ=180^o .
Отложим на луче CO отрезок CE=1 . Тогда проекции точки E на прямые CB , CD и CC' равны cos α , cos β и cos γ соответственно. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда cos2 α+ cos2 β+ cos2 γ=1 , а т.к. γ = 180^o-α-β , то

cos2 α+ cos2 β+ cos2 (180^o-α-β)=1, cos2 α+ cos2 β+ cos2 (α+β)=1,

2 cos2 α+2 cos2 β+2 cos2 (α+β)=2, 1+ cos 2α + 1+ cos 2β + 2 cos2 (α+β)=2,

cos 2α + cos 2β +2 cos2 (α+β)=0, 2 cos (α+β) cos (α -β)+2 cos2 (α+β)=0,

cos (α+β)( cos (α-β)+ cos (α+β))=0, cos (α+β) cos α cos β=0, cos γ cos α cos β = 0.
Следовательно, либо γ = 90^o , либо β = 90^o , либо cos α=90^o .
Если β = 90^o , то точка O лежит в плоскости BB'C , что невозможно, т.к. сфера с центром O не имеет общих точек с этой плоскостью. Если α = 90^o , то точка O лежит в плоскости CC'D , что также невозможно, т.к. сфера с центром O касается этой плоскости. Значит, γ = 90^o , поэтому точка O лежит в плоскости ABCD , а значит, — на прямой AC пересечения плоскостей AA'C'C и ABCD .
По условию задачи точка O лежит в сечении AA'C'C , значит, она расположена на отрезке AC . Сфера с центром O , лежащим в плоскости ABC , касается плоскостей A'B'C'D' и CC'D , поэтому её радиус равен длине ребра CC' и меньше длины ребра AB , а т.к. сфера не имеет общих точек с гранью BB'C , то её радиус r меньше длины ребра AB . Следовательно, CC' — наименьшее ребро параллелепипеда, т.е. r=CC'=2 .
Расстояние от центра сферы до плоскости BB'C равно расстоянию то точки O , лежащей на диагонали AC прямоугольника ABCD , до стороны BC , поэтому CD>BC . Значит, CD = 6 и BC=3 . Пусть H — проекция точки O на сторону CD . Тогда искомое расстояние равно длине отрезка CH . Из подобия прямоугольных треугольников COH и CAD находим, что
CH=CD· = 6· =4.

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7322