Задача 116418

Темы:    [ Обратные тригонометрические функции ] [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010? (Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)

Решение

Пусть   f(x) = ctg (arctg x) = ¹/_x,   g(x) = sin (arctg x) =  .   По индукции проверим, что  gⁿ(x) = g(g^n–1(x)) =  .
Взяв  n = 2010² – 1,  получим что   gⁿ(1) = ¹/₂₀₁₀,  откуда  f(gⁿ(1)) = 2010.

Ответ

Можно.

Замечания

Ср. с задачей 115506.

6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2009/2010
Номер	31
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3