Информация о задаче

Задача 52348

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность радиуса 2 $\sqrt{7}$ вписана трапеция ABCD, причём её основание AD является диаметром, а угол BAD равен 60^o. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P, причём AP : PD = 1 : 3. Найдите площадь треугольника BPE.

Подсказка

BP — высота трапеции, AP^.PD = EP^.PC.

Решение

Пусть O — центр окружности. Тогда треугольники ABO, OBC, COD -- равносторонние, а т.к. P — середина AO, то BP — высота треугольника ABO,

BP = AO sin 60^o = AB sin 60^o = $\displaystyle \sqrt{21}$ .

Поскольку

BC = OB = 2 $\displaystyle \sqrt{BP^{2}+ BC^{2}}$ = 7,

то

S_BPC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.BP = 7 $\displaystyle \sqrt{3}$ , AP^.PD = EP^.PC.

Отсюда находим, что EP = ${\frac{AP\cdot PD}{PC}}$ = 3. Следовательно,

S_BPE = $\displaystyle {\frac{PE}{PC}}$ ^.S_BPC = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{7}}$ ^.7 $\displaystyle \sqrt{3}$ = 3 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

3 $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	10